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समुच्चय और उनका निरूपण (Sets and their Representation)

दैनिक जीवन में हम प्रायः ऐसे शब्दों का प्रयोग करते हैं जिनसे वस्तुओं के संग्रह का बोध होता है। जैसे-टी-सैट, डिनर सैट, लेखन-सामग्री का संग्रह, हॉकी की टीम आदि के लिए हम भिन्न-भिन्न शब्दों का प्रयोग करते हैं। परन्तु ये सभी समुच्चयों का ही बोध कराते हैं।

वास्तव में "वस्तुओं के सुपरिभाषित संग्रह को समुच्चय कहते हैं।"

यहाँ संग्रह के सुपरिभाषित होने से तात्पर्य है कि संग्रह की परिभाषा इतनी स्पष्ट होनी चाहिए कि किसी भी वस्तु के विषय में निसन्देह यह बताया जा सके कि वह उस संग्रह में सम्मिलित है अथवा नहीं है।
समुच्चय के अवयव (Elements of a Set)

समुच्चय को निरूपित करने वाले संग्रह में सम्मिलित प्रत्येक वस्तु को उस समुच्चय का अवयव कहते हैं जिन्हें साधारणतया अंग्रेजी वर्णमाला के छोटे अक्षरों a, b, c, ..., x, y, z द्वारा प्रदर्शित किया जाता है।

यदि x समुच्चय A का कोई अवयव है तो इस तथ्य को x ∈ A लिखकर प्रदर्शित किया जाता है।

x ∈ A को 'x समुच्चय A का अवयव है (xbelongs to A)' पढ़ा जाता है। इसी प्रकार यदि x समुच्चय A का अवयव नहीं है तो इस तथ्य को x ≠ A लिखकर प्रदर्शित किया जाता है।

x£A को 'x समुच्चय A का अवयव नहीं है (x does not belongs to A)' पढ़ा जाता है।

रिक्त समुच्चय (Null Set or Empty Set)
वह समुच्चय जिसमें कोई भी अवयव न हो, रिक्त समुच्चय कहलाता है जिसे { } अथवा ग्रीक अक्षर से प्रदर्शित करते हैं।
परिमित तथा अपरिमित समुच्चय (Finite and Infinite Sets)

वह समुच्चय जिसके अवयवों की संख्या सीमित होती है, अथवा वह समुच्चय जिसके अवयवों को अन्त तक गिना जा सकता है एक परिमित समुच्चय कहलाता है।

यदि कोई समुच्चय परिमित नहीं है तो वह अपरिमित समुच्चय कहलाता है।

किसी परिमित समुच्चय A में अवयवों की संख्या को n (A) द्वारा प्रदर्शित किया जाता है।

एकल समुच्चय (Singleton) - वह समुच्चय जिसमें 'केवल एक' ही अवयव हो एकल समुच्चय कहलाता है।


समुच्चय { $} तथा {0} रिक्त समुच्चय नहीं हैं।

समुच्चय { $} का एक अवयव है अतः यह रिक्त समुच्चय नहीं है।

इसी प्रकार समुच्चय {0} का भी एक अवयव 0 है अतः यह भी रिक्त समुच्चय नहीं है।


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