Distances | Espaces Métriques: Définition et Exemples

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Cette vidéo fait partie du cours "Espaces vectoriels normés, espaces métriques":    • Distances | Espaces Métriques: Définition ...  

Cette vidéo débute par une discussion sur la distance usuelle ou euclidienne du plan. C’est une façon parmi d’autres pour mesurer la distance entre deux points. Mais dans certain cas, ce n’est pas la notion adaptée. J’introduis la notion de “distance de Manhattan”, ou “taxi-distance”, qui vous donne la plus petite distance à parcourir entre deux points si par exemple vous habitez à Manhattan. C’est aussi une grandeur qui vérifie les axiomes d’une distance: la séparation (la distance entre deux points est nulle si et seulement si c’est le même point), la symétrie et l’inégalité triangulaire.

Un espace muni d’une distance s’appelle espace métrique. Je donne plusieurs exemples d’espaces métriques: autre que la distance Euclidienne sur R^2 ou R^3, on a la distance Euclidienne sur R^n et C^n et la distance de Manhattan. Puis on a la distance discrète définie sur un ensemble quelconque, et elle prend deux valeurs possibles: 0 ou 1. La distance discrète entre deux points est 1 si ces points sont distincts, et 0 s’ils sont égaux. On vérifie que la distance discrète vérifie les axiomes d’une distance, et c’est une exemple d’une distance qui ne provient pas d’une norme.