【灘高数学】対称式を整理して一瞬で答えを出す（灘高入試）

Описание: #灘高校 #対称式 #計算問題 #入試数学 #文字式

■ 問題

灘高校 1995年度

a＋b＝3/2
a²＋b²＝3/2

のとき、
5a＋2(b−a²) の値を求めなさい。

■ ポイント

・a＋b と a²＋b² が同じ数になっている点に注目。
・2つの式を引き算すると ab が一瞬で求まる。
・a,b を個別に求めなくても、式の整理だけで答えまで行ける。
・最後は代入して整理するだけの計算問題。

■ 途中式

a²＋b² ＝ (a＋b)² − 2ab より

3/2 ＝ (3/2)² − 2ab
3/2 ＝ 9/4 − 2ab

2ab ＝ 9/4 − 3/2
2ab ＝ 9/4 − 6/4
2ab ＝ 3/4

ab ＝ 3/8

次に b＝3/2 − a を用いる。

求める式
5a＋2(b−a²)

＝5a＋2(3/2 − a − a²)
＝5a＋3 − 2a − 2a²
＝3a − 2a²＋3

ここで
a² − a ＝ a(a−1)

ab＝3/8 より
a(3/2 − a)＝3/8

3a/2 − a²＝3/8
−a²＋3a/2＝3/8

両辺に 8 をかけると
−8a²＋12a＝3

−8a²＋12a−3＝0

この式より
3a − 2a²＝3/4

したがって

3a − 2a²＋3
＝3/4＋3
＝15/4

■ 答え

15/4

■ 考え方メモ

・a＋b と a²＋b² が同じ値のときは、まず引き算して ab を出すのが鉄則。
・a,b を無理に求めに行かず、「必要な形」に式を変形するのが灘流。
・対称式は「平方の公式」と「引き算」が最強コンビ。
・計算量は多く見えるが、流れに乗ると一気に片付く良問。

この問題、
「a,b を出さない勇気」を教えてくれる名作です。

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