【灘高数学】見落としやすい符号ミスに注意しながら解く実戦例

Описание: 灘高入試 2021年度 大問3

■ 問題
ab^2 + (3a + 4) b + 2a + 6 = 0 ・・・①
p = 2ab + 3a + 4 とする。
(1) p^2 を a のみを用いて表せ。
(2) a, b は 0 でない整数とする。①を満たす a, b を求めよ。

■ ポイント（解法の方針）

・p は b を含む線形式なので、p^2 を展開して b^2, b の項を出し、与式（①）を使って b^2 を消去すると b 項がすべて消える設計になっている。
・結果的に p^2 は a の多項式のみになり、p^2 − a^2 = 16 という簡潔な関係が得られる。
・(2) は p^2 − a^2 = 16 を利用して (p−a)(p+a)=16 と因数分解し、整数解を列挙してから b をもとめる。

■ 途中式

(1) p = 2ab + 3a + 4 = a(2b + 3) + 4

p^2 = [a(2b+3) + 4]^2
= a^2(2b+3)^2 + 8a(2b+3) + 16
= a^2(4b^2 + 12b + 9) + 16ab + 24a + 16
= 4a^2 b^2 + 12 a^2 b + 9 a^2 + 16 a b + 24 a + 16

与式①より
ab^2 = −(3a+4)b − 2a − 6

よって
4a^2 b^2 = 4a (ab^2) = 4a [−(3a+4)b − 2a − 6]
= −4a(3a+4)b − 8 a^2 − 24 a

これを p^2 の式に代入すると b 項は打ち消し合い、残るのは定数項のみ：
p^2 = (−4a(3a+4)b − 8 a^2 − 24 a) + 12 a^2 b + 9 a^2 + 16 a b + 24 a + 16
b 項の係数： −4a(3a+4) + 12 a^2 + 16 a = 0 → b 項は消える
定数項： −8 a^2 − 24 a + 9 a^2 + 24 a + 16 = a^2 + 16

したがって
p^2 = a^2 + 16

(2) p^2 − a^2 = 16
(p − a)(p + a) = 16

因数 16 を同符号・同符 parity の因数分解で調べる（p, a は整数なので p−a と p+a は同じ偶奇）：
16 の因数対（u, v）で u = p−a, v = p+a を満たすものを列挙する。

有効な同偶因数対は
(2, 8), (8, 2), (4,4), (−2, −8), (−8, −2), (−4, −4)

各対から p = (u+v)/2, a = (v−u)/2 を求めると
(2,8) → p = 5, a = 3
(8,2) → p = 5, a = −3
(4,4) → p = 4, a = 0（a ≠ 0 なので除外）
(−2, −8) → p = −5, a = −3
(−8, −2) → p = −5, a = 3
(−4, −4) → p = −4, a = 0（除外）

よって a の候補は a = 3 または a = −3（ただし a = 0 は除外）。

次に各 a について元の式で b を求める（整数かどうかを確認）。

a = 3 のとき：
3 b^2 + (9 + 4) b + (6 + 6) = 0
3 b^2 + 13 b + 12 = 0
判別式 Δ = 13^2 − 4×3×12 = 169 − 144 = 25
b = [−13 ± 5] / (2×3) = −18/6 = −3 または −8/6 = −4/3
整数解は b = −3（b ≠ 0 の条件を満たす）

このとき p = 2ab + 3a + 4 = 2·3·(−3) + 9 + 4 = −18 + 13 = −5（p = ±5 のうち負の方を取る）

a = −3 のとき：
(−3) b^2 + (−9 + 4) b + (−6 + 6) = 0
−3 b^2 − 5 b + 0 = 0
3 b^2 + 5 b = 0
b(3b + 5) = 0
b = 0 または b = −5/3
b = 0 は「0でない整数」条件に反する。b = −5/3 は整数でない。
したがって a = −3 では適当な非零整数 b が存在しない。

以上から、条件を満たす (a, b) はただ一組：
a = 3, b = −3

■ 答え

(1) p^2 = a^2 + 16

(2) a, b は 0 でない整数 → 唯一の解は a = 3, b = −3

■ 考え方メモ

・p^2 を直接展開してから与式で ab^2 を消すと、b 項がきれいに消える仕掛けになっている（入試的な「消去の妙」）。
・(p−a)(p+a)=16 とすると因数分解で候補がすばやく絞れる。ただし a = 0 のケースは問題で除外する。
・b を求める際は判別式を確認し、整数解のみを採用すること。
・符号や分数の扱いを丁寧にすれば、ミスは出にくい良問。

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