Determine el Volumen del Sólido que está Dentro de la Esfera x^2 + y^2 + z^2 = 81, sobre el Plano XY

Описание: Determine el volumen del sólido que está dentro de la esfera x^2 + y^2 + z^2 = 81, sobre el plano xy y bajo el cono
z = /x^2 + y^2

De forma conceptual, el problema se interpreta así:

Primero, la ecuación dada describe una esfera completa centrada en el origen. No hay desplazamientos ni deformaciones: es un sólido perfectamente simétrico en todas las direcciones.

Luego aparece la condición “sobre el plano XY”. Esto es clave. El plano XY divide al espacio en dos mitades:

una parte superior (por encima del plano),

y una parte inferior (por debajo del plano).

Cuando se pide el sólido dentro de la esfera y sobre el plano XY, lo que realmente se está tomando es solo la mitad superior de la esfera. Es decir, un hemisferio sólido.

Por simetría, la esfera se reparte exactamente en dos partes iguales al ser cortada por el plano XY. No hay sesgos, inclinaciones ni recortes irregulares: el plano pasa por el centro de la esfera y la divide en dos volúmenes idénticos.

La idea clave es esta:
el volumen del sólido pedido es simplemente la mitad del volumen de la esfera completa.

No hace falta imaginar integrales ni coordenadas para entenderlo: basta reconocer la simetría geométrica del sólido y el efecto del plano XY como un “corte horizontal” que separa la esfera en dos partes iguales.

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