Wie berechne ich Kartesische und polare Koordinaten? | Orthogonales Koordinatensystem | Polarwinkel

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In der Mathematik und Geodäsie versteht man unter einem Polarkoordinatensystem (auch: Kreiskoordinatensystem) ein zweidimensionales Koordinatensystem, in dem jeder Punkt in einer Ebene durch den Abstand von einem vorgegebenen festen Punkt und den Winkel zu einer festen Richtung festgelegt wird.

Ein kartesisches Koordinatensystem ist ein orthogonales Koordinatensystem. Im zwei- und dreidimensionalen Raum handelt es sich um das am häufigsten verwendete Koordinatensystem, da sich viele geometrische Sachverhalte in diesem anschaulich und übersichtlich beschreiben lassen.

Der feste Punkt wird als Pol bezeichnet; er entspricht dem Ursprung bei einem kartesischen Koordinatensystem. Der vom Pol in der festgelegten Richtung ausgehende Strahl heißt Polarachse. Der Abstand vom Pol wird meist mit r bezeichnet und heißt Radius oder Radialkoordinate, der Winkel wird mit φ bezeichnet und heißt Winkelkoordinate, Polarwinkel, Azimut oder Argument.

Die Umrechnung von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten ist etwas schwieriger, weil man mathematisch gesehen dabei immer auf eine (nicht den gesamten Wertebereich des Vollwinkels umfassende) trigonometrische Umkehrfunktion angewiesen ist. Zunächst kann aber der Radius r mit dem Satz des Pythagoras einfach berechnet werden.

Die Polarkoordinaten (Kreiskoordinaten) eines Punktes in der euklidischen Ebene werden in Bezug auf einen Koordinatenursprung (einen Punkt der Ebene) und eine Richtung (einen im Koordinatenursprung beginnenden Strahl) angegeben.

Polarkoordinaten bilden einen Spezialfall von orthogonalen krummlinigen Koordinaten. Sie sind hilfreich, wenn sich das Verhältnis zwischen zwei Punkten leichter durch Winkel und Abstände beschreiben lässt, als dies mit
x- und y-Koordinaten der Fall wäre. In der Geodäsie sind Polarkoordinaten die häufigste Methode zur Einmessung von Punkten (Polarmethode). In der Funknavigation wird das Prinzip oft als „Rho-Theta“ (für Distanz- und Richtungsmessung) bezeichnet.
In der Mathematik wird die Winkelkoordinate im mathematisch positiven Drehsinn (Gegenuhrzeigersinn) gemessen. Wird gleichzeitig ein kartesisches Koordinatensystem benutzt, so dient in der Regel dessen Koordinatenursprung als Pol und die
x-Achse als Polarachse. Die Winkelkoordinate wird also von der x-Achse aus in Richtung der y-Achse gemessen. In der Geodäsie und in der Navigation wird das Azimut von der Nordrichtung aus im Uhrzeigersinn gemessen.

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