Numerikus analízis 20250322 082134 Lineáris Egyenletrendszerek

Описание: A videó a lineáris egyenletrendszerek megoldásának numerikus módszereit mutatja be, különös tekintettel a direkt megoldó algoritmusokra. Az előadás a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem (BME) Numerikus analízis kurzusának része lehet.

Az alábbiakban összefoglalom a videó kulcsfontosságú témáit:

1. Trianguláris (háromszög) egyenletrendszerek [01:06]
Felső háromszög mátrix: Olyan eset, amikor a főátló alatt minden elem nulla.

Megoldás: A visszahelyettesítés módszerével történik. Az utolsó egyenletből (amely csak egy változót tartalmaz) kiszámoljuk az x
n
​
értéket, majd ezt visszahelyettesítve lépésről lépésre haladunk felfelé [02:17].

Feltétel: A módszer akkor működik, ha a főátlóban lévő elemek egyike sem nulla (vagyis a determináns nem nulla) [05:14].

Műveletigény: Nagyságrendileg n
2
/2 szorzás/osztás [08:13].

2. Gauss-elimináció [09:36]
Cél: Egy általános egyenletrendszert elemi sorműveletekkel felső háromszög alakra hozni.

Működése: A kibővített mátrixon végzett műveletekkel (sorok konstansszorosának kivonása más sorokból) kinullázzuk a főátló alatti elemeket [12:21].

Műveletigény: Kb. n
3
/3, ami nagy méretű (n gt 100,000) rendszerek esetén jelentős számítási időt igényelhet [27:34].

3. Főelem-kiválasztási stratégiák [28:22]
A kerekítési hibák csökkentése és a nullával való osztás elkerülése érdekében szükségesek:

Részleges főelem-kiválasztás: Az adott oszlopban a legnagyobb abszolút értékű elemet keressük, és sorcserével ezt visszük a főátlóba [35:42].

Teljes főelem-kiválasztás: A még nem érintett teljes almátrixban keressük a maximumot, amihez sor- és oszlopcserére is szükség van [54:10].

4. Speciális mátrixok és stabilitás [01:01:48]
Diagonálisan domináns mátrix: Ha a főátlóbeli elem abszolút értéke nagyobb, mint a sorban lévő többi elem abszolút értékének összege. Ilyenkor a Gauss-elimináció főelem-kiválasztás nélkül is stabil [01:04:01].

Pozitív definit mátrix: Szimmetrikus mátrix, ahol minden nem nulla vektorra x
T
Ax gt 0. Szintén stabilan megoldható főelem-kiválasztás nélkül [01:12:18].

5. További algoritmusok és alkalmazások
Gauss–Jordan-elimináció: Nem háromszög, hanem egységmátrixszá alakítjuk az együttható-mátrixot. Ez közvetlenül megadja a megoldást, de több műveletet igényel (n
3
/2) [01:13:29].

Mátrix invertálása: Az AX=I egyenlet megoldásával, Gauss–Jordan-eliminációt alkalmazva [01:30:27].

Tridiagonális rendszerek: Olyan mátrixok, ahol csak a főátlóban és a mellette lévő két mellékátlóban vannak nem nulla elemek. Erre létezik egy rendkívül hatékony, lineáris műveletigényű (5n) algoritmus [01:21:42].

Determináns számítás: A Gauss-elimináció után a főátló elemeinek szorzata adja meg a determinánst (figyelembe véve a sorcserék miatti előjelváltásokat) [01:35:51].

A videó hangsúlyozza, hogy míg kézi számításnál a törtek használata pontos eredményt ad, számítógépes környezetben a kerekítési hibák miatt a főelem-kiválasztás elengedhetetlen a stabilitáshoz [52:57].