Numerikus analízis 20250322 120023 Interpoláció

Описание: Ez a videó egy Numerikus analízis előadás felvétele (2025. március 22-i dátummal), amely elsősorban az interpoláció témakörével foglalkozik. Az előadó részletesen ismerteti a Lagrange- és a Newton-féle interpolációt, valamint az Hermite-interpolációt.

Főbb témakörök és összefoglaló:
Az interpoláció alapfeladata [00:27]: Adott véges számú pont (alappontok és a hozzájuk tartozó függvényértékek), és olyan függvényt keresünk, amely ezekre a pontokra illeszkedik.

Lagrange-féle interpoláció [01:52]:

n+1 darab ponthoz egy legfeljebb n-edfokú polinomot keresünk.

Az előadó bemutatja a Lagrange-alappolinomok felírását és azok tulajdonságait [03:03].

Szó esik a megoldás létezéséről és egyértelműségéről [07:36].

Példa: Egy konkrét számszerű példán keresztül láthatjuk a polinom felírását négy pontra [09:02].

Közelítés hibája és a Rolle-tétel [17:00]:

Az interpoláció pontossága függ az alappontok számától és elhelyezkedésétől.

Az előadó ismerteti az általánosított Rolle-tételt [18:20] és a hibaformulát, amely nagyban hasonlít a Taylor-polinom maradéktagjához [23:09].

Newton-féle interpoláció (Osztott differenciák) [30:56]:

Ez a módszer rugalmasabb: ha új alappontot adunk hozzá, nem kell az egész számítást elölről kezdeni, csak egy új taggal bővíteni a kifejezést [42:21].

Osztott differenciák táblázata: Az előadó bemutatja a rekurzív kiszámítási módot és a táblázat kitöltésének technikáját [44:31].

Gyakorlati példa a táblázat kitöltésére és a polinom felírására [46:07].

Hermite-féle interpoláció [52:30]:

Ebben az esetben nemcsak a függvényértékeket, hanem a megadott pontokban a derivált értékeket is interpoláljuk [52:44].

A számításhoz módosított osztott differencia táblázatot használunk, ahol az alappontokat kétszer írjuk fel [56:21].

A videó hasznos segédanyag azoknak, akik a numerikus módszerek alapjait, konkrétan a polinom-interpolációt szeretnék elsajátítani példákon keresztül.