Tangente und Normale || Oberstufe ★ Wissen

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Ist eine Funktion f(x) mit dem Punkt P(x_0 |f(x_0 ) ) gegeben und eine Gerade t am Punkt P mit der Steigung f^' (x_0), so bezeichnet man diese als Tangente (lat. „Berührende“). Eine Gerade n, die senkrecht zur Tangente durch den Punkt P verläuft, wird Normale genannt. Die Geradengleichung lässt sich folgendermaßen aufstellen für die
Tangente: y_t = f^' (x_0 )(x - x_0 ) + f(x_0)
Normale: y_n = - 1/(f^( ') (x_0 ) ) (x - x_0 ) + f(x_0)


Bestimme die Tangenten- und die Normalengleichung im Punkt P (1|1,75) der Funktion f(x) = - 1/4 x^2 + 2 .
Wenn du dir die Formeln von oben anschaust, siehst du, dass du die Ableitung bzw. die Steigung in dem Punkt P bestimmen musst, um die Geradengleichungen angeben zu können. Alle restlichen Werte, also die Stelle x_0=1 sowie der Funktionswert f(x_0 )=1,75 sind gegeben und können an der Koordinate des Punktes abgelesen werden.
Die Ableitung bestimmt man mit einer der bekannten Methoden. Oftmals bietet es sich an, die h-Methode anzuwenden, um sich eine Polynomdivision zu ersparen. Zunächst bilden wir also den Differenzenquotienten mit x=x_0 + h und x_0=1, vereinfachen und kürzen die Terme:
((- 1/4 (1 + h)^2 + 2) - (1,75))/(1,75 + h - 1,75) = ( 1,75 - h/2-h^2/4 – 1,75)/h=-1/2-h/4
Zuletzt lässt man h wieder minimal werden. Somit gilt:
f^' (1) = lim┬(h → 0)⁡〖 - 1/2〗 - h/4 = - 1/2
Man setzt dies in die Tangentengleichung ein und erhält:
y_t = - 1/2 (x - 1) + 1,75 = - 1/2 x + 2,25
Für die Normalengleichung musst du lediglich das Vorzeichen der Steigung ändern und den Kehrwert bilden.
y_n = - 1/(-1/2) (x - 1) + 1,75 = 2x - 0,25

Trainer: „Die Formel für eine Tangentengleichung solltest du dringend auswendig lernen. Auch den Zusammenhang zur Normalen solltest du kennen.“
1. Bestimme graphisch die Tangenten- und die Normalengleichung an der Stelle x = 4 für die Funktion f(x) = 2√x .
2. Bestimme die Geradengleichungen für die Tangente und die Normale an den Punkten P(2|1) und Q(1|0) der Funktion f(x) =x^3 - 2x^2 + 1
3. Zeige anhand einer Skizze, warum die Steigung der Normalen genau der negative Kehrwert der Tangentensteigung ist.


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