Änderungsrate - Differenzialrechnung || Oberstufe ★ Wissen

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Die mittlere Änderungsrate m einer Funktion f(x) in einem bestimmten Intervall [xa ; xb] berechnet sich nach der Formel:
m= (f(x_b )- f(x_a))/(x_b-x_a )
Man spricht dabei von der durchschnittlichen Änderungsrate zwischen zwei Punkten. Wenn x_b→x_a strebt, erhält man als Grenzwert die lokale Änderungsrate an der Stelle xa.

Der zurückgelegte Weg f [in m] eines Motorrads beim Start eines Rennens lässt sich in Abhängigkeit der Zeit t [in s] ungefähr durch folgende Funktion beschreiben:
f(t)= 4 m⁄s^2 ∙t²
Welche Geschwindigkeit (Änderungsrate des Weges) hat das Motorrad
a) durchschnittlich in den ersten drei Sekunden b) nach 3 Sekunden ?

Lass dich zunächst nicht von den Einheiten (z.B. m⁄s^2 ) beirren. Führe sie einfach beim Rechnen sauber mit und kürze, wenn möglich, damit zum Schluss ein sinnvolles Ergebnis in Metern entsteht.
Wie du sicherlich schon erkannt hast, sollst du bei Teilaufgabe a) die durchschnittliche Änderungsrate in dem Zeitintervall [0 s; 3 s] bestimmen, sprich die Durchschnittsgeschwindigkeit. Wende hierfür einfach die Formel von oben an, indem du für x_a=0 s und für x_b=3 s einsetzt:

m= (f(3 s)- f(0 s))/(3 s-0 s)= ((4 m⁄s^2 ∙(3 s)^2 ) - (4 m⁄s^2 ∙(0 s)^2))/(3 s-0 s)= (36 m-0 m)/(3 s)
m=12 m⁄s

Bei Aufgabenteil b) sollen wir die lokale Änderungsrate bei 3 s bestimmen. Diese entspricht eben der Geschwindigkeit in dem Zeitpunkt (und nicht Zeitintervall). Wie oben beschrieben, wählt man dazu eine zweite Stelle, die sehr dicht an dem Punkt liegt. Dafür setzen wir dieses Mal für x_b=3,01 s und für x_a=3 s .
m= (f(3,01 s)- f(3 s))/(3,01 s-3 s)= (36,24 m-36 m)/(0,01 s)= 24 m⁄s
Trainer: „Die durchschnittliche und die lokale Änderungsrate weichen deutlich voneinander ab. Du solltest den Unterschied unbedingt verstehen!“
1. Bestimme zusätzlich die Geschwindigkeiten nach 2 Sekunden, nach 6 Sekunden, zwischen 2 und 6 Sekunden, sowie nach 100 m.
2. Zeichne die Funktion f(x)= -1/2 x^2+ 2x in dein Heft und bestimme graphisch die Änderungsraten für die Intervalle [0; 1] und [0; 3] sowie in den Punkten P1 (1|f(1)) und P2 (4|f(4)). Überprüfe deine Ergebnisse durch Rechnungen.
3. Interpretiere im Zusammenhang der Beispielaufgabe, was die Beschleunigung eines Motorrads ist.


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