【数学の名問】円周率は3.05より大きい？【東大入試2003年度】

Описание: #東大入試 #円周率 #数学 #証明問題 #数学の美しさ

円周率が3.05より大きいことを証明せよ

東京大学
2003年度 理系数学

円周率 π が
3.05 より大きいことを証明する問題です。

一見すると円周率を計算しないといけないように見えますが、実際には
円に内接する正多角形の周の長さを利用して評価します。

📌 問題のポイント

・円に内接する正多角形の周は円周より短い
・多角形の周を求めれば円周の下限が分かる
・三平方の定理だけで証明できる

📘 考え方

半径1の円を考える。

このとき
円周 = 2π

円に内接する 正八角形 を作る。

正八角形の一辺は三平方の定理から

√(2 − √2)

となる。

📐 正八角形の周

8 × √(2 − √2)

√2 ＜ 1.415 を用いると

2 − √2 ＞ 0.585

√(2 − √2) ＞ √0.585

√0.585 ＞ 0.765

よって

正八角形の周

8 × 0.765
= 6.12

📊 円周との比較

円周 = 2π

内接多角形の周は円周より短いので

2π ＞ 6.12

両辺を2で割ると

π ＞ 3.06

📌 結論

π ＞ 3.05

🎯 この問題で学べること

・円周率を直接計算しなくても評価できる
・内接多角形による「はさみうち」の発想
・幾何と不等式を組み合わせた証明

東京大学らしい
シンプルで美しい証明問題です。

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