Relazione tra Soluzioni e Coefficienti nelle Equazioni di Secondo Grado. Formule di Viète

Описание: EQUAZIONI DI SECONDO GRADO. RELAZIONE TRA COEFFICIENTI E RADICI
FORMULE DI VIETE
Ciascuna Equazione di Secondo Grado, esistente nella forma a·x²+b·x+c=0 (con a, b e c appartenenti all'Insieme ℝ e a≠0) equivale, in realtà ad un Sistema Misto di Secondo Grado (complessivo). Il Sistema si origina, infatti, dalle Relazioni che intercorrono tra le Soluzioni (o Radici) dell'Equazione considerata e i suoi Coefficienti Numerici:

{x₁+x₂=-b/a
{x₁·x₂=c/a

Questa situazione è giustificata dal fatto che un generico Trinomio di Secondo Grado a·x²+b·x+c (con a, b e c appartenenti all'Insieme ℝ e a≠0) può essere scomposto nella forma a·(x-x₁)·(x-x₂), cioè risulta l'equivalenza a·x²+b·x+c=a·(x-x₁)·(x-x₂); infatti, svolgendo il prodotto tra i fattori di scomposizione, si ottiene a·[x²-(x₂·x)-(x₁·x)+(x₁·x₂)]=a·[x²-(x₁+x₂)·x+(x₁·x₂)], in cui il termine -(x₁+x₂) corrisponde a b/a e il termine (x₁·x₂) corrisponde a c/a; pertanto, a·(x-x₁)·(x-x₂) corrisponderà ad a·[x²-(-b/a)·x+(c/a)], cioè ad a·x²+b·x+c.
In definitiva, sarà possibile risolvere le Equazioni di Secondo Grado (soprattutto quelle a non agevole risoluzione quadratica) eventualmente anche impostando un Sistema di Secondo Grado in x₁ e x₂, a patto di tenere conto dei rapporti tra le Radici dell'Equazione in esame e i suoi Coefficienti Numerici. Ad esempio, l'Equazione 2x²+7x+3=0 produce il Sistema Misto:

{x₁+x₂=-7/2
{x₁·x₂=3/2

tale Sistema può anche essere risolto intuitivamente, deducendo quale coppia di Numeri Reali possa fornire -7/2 come Somma e 3/2 come Prodotto; dal Prodotto si può ipotizzare che 3/2 sia 3·1/2 o (-3)·(-1/2); la scelta ricadrà sulla seconda opzione, in quanto (-3)+(-1/2)=-7/2 e l'equazione avrà come Soluzioni x₁=-3 e x₂=-1/2. Inoltre, il Trinomio 2x²+7x+3 sarà scomponibile nel Prodotto 2·(x+3)·(x+1/2). Le Formule di Viète, oltre che fornire ulteriori basi nella risoluzione delle Equazioni di Secondo Grado e nella discussione delle corrispondenti Equazioni Parametriche, consentono di risolvere agilmente forme quadratiche in cui il Δ, pur essendo positivo (e quindi determinando delle Radici Reali) risulta parzialmente Razionale e, quindi, non immediatamente riconducibile ad uno sviluppo quadratico.
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00:00 Introduzione
01:08 Formule di Viète
02:25 Dimostrazione delle Formule di Viète
05:32 Esempio pratico
07:43 Conclusione