1ère Spé Maths Fonction de Bénéfice : Optimisation et Rentabilité | Second Degré Appliqué

Описание: Les maths au service de l'économie ! Dans cette vidéo, on analyse une fonction de bénéfice avec les outils du second degré : trouver le maximum, optimiser la production, déterminer la zone de rentabilité. Exactement le type d'exercice d'application qui tombe au Bac.
On étudie B(q) = −q² + 20q − 36, la fonction de bénéfice d'une entreprise qui produit des carnets, pour q compris entre 0 et 30 centaines.
Les 3 questions au programme :
Question 1 — Étudier les variations de B sur [0 ; 30]
Identification des coefficients, signe de a négatif, calcul du sommet en q = 10. Tableau de variations complet avec B(0) = −36, maximum en q = 10, et B(30) = −336.
Question 2 — Production optimale et bénéfice maximal
Calcul de B(10) = 64. La production qui maximise le bénéfice est de 1 000 carnets pour un bénéfice maximal de 64 000 euros.
Question 3 — Résoudre B(q) supérieur à 0 et interpréter
Calcul du discriminant = 256, deux racines q = 2 et q = 18. Règle du signe avec a négatif : bénéfice positif entre les racines. L'entreprise est rentable entre 200 et 1 800 carnets.
Ce que tu vas maîtriser :

Identifier et exploiter le signe de a pour les variations
Calculer le sommet d'une parabole et l'interpréter comme un maximum économique
Résoudre une inéquation du second degré sur un intervalle restreint
Traduire un résultat mathématique en langage économique concret
Ne pas oublier les unités dans l'interprétation

L'astuce clé : dans un problème de contexte, le résultat mathématique ne suffit pas. Ici q s'exprime en centaines de carnets et B en milliers d'euros — traduire en unités concrètes est indispensable pour avoir la totalité des points.

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