1ère Spé Maths : Polynôme de Degré 4 : Factorisation, Racines et Ensemble de Définition

Описание: Tu connais le second degré, mais sais-tu l'appliquer sur un polynôme de degré 4 ? Dans cette vidéo, on montre comment décomposer un problème complexe en étapes simples grâce à la factorisation. Une méthode redoutable à connaître pour le Bac !
On étudie le polynôme P(x) = 2x⁴ − 10x³ + 4x² + 40x − 48 en quatre questions enchaînées, chacune s'appuyant sur la précédente.
Les 4 questions au programme :
Question 1 — Vérifier la factorisation
On développe (x² − 5x + 6)(2x² − 8) terme à terme et on retrouve P(x). Méthode rigoureuse et indispensable : on ne suppose pas, on vérifie.
Question 2 — Trouver les racines par le produit nul
Règle du produit nul appliquée aux deux facteurs. Premier facteur : discriminant = 1, racines 2 et 3. Deuxième facteur : x² = 4, racines −2 et 2. Point clé : x = 2 est une racine commune, elle ne compte qu'une fois. Ensemble solution : {−2 ; 2 ; 3}.
Question 3 — Tableau de signe complet de P(x)
Analyse du signe de chaque facteur séparément, puis combinaison colonne par colonne. Tableau produit avec les trois valeurs clés −2, 2 et 3.
Question 4 — Ensemble de définition de f(x) = racine carrée de P(x)
Condition P(x) supérieur ou égal à 0 lue directement dans le tableau. Attention au point isolé x = 2 qui forme un singleton dans l'union.
Ce que tu vas maîtriser :

Vérifier une factorisation par développement complet
Appliquer la règle du produit nul sur deux trinômes
Repérer et gérer une racine commune entre deux facteurs
Construire un tableau de signe produit avec plusieurs valeurs clés
Déduire un ensemble de définition depuis un tableau de signe

L'astuce clé : quand on cherche l'ensemble de définition d'une racine carrée, les points où P s'annule sont inclus (racine carrée de 0 = 0). Mais si ce sont des points isolés entourés de valeurs négatives, ils forment un singleton {2} dans l'union, et non un intervalle.

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