Несобственные интегралы, Тип 1 и 2, Примеры, Сходимость или расходимость, Практические задачи – М...

Описание: Несобственные интегралы расширяют определённые интегралы до ситуаций с бесконечным интервалом интегрирования или функцией, имеющей разрыв внутри этого интервала. Они вычисляются путём замены проблемного предела (бесконечности или разрыва) на переменную, например, t, и последующего вычисления определённого интеграла от этой переменной до другого предела. Ключевым моментом является взятие предела при приближении переменной t к бесконечности или проблемному значению. Если предел приводит к конечному числу, интеграл сходится; если предел не существует или бесконечен, интеграл расходится.

💡Два типа несобственных интегралов
• Тип 1: Бесконечные пределы интегрирования
∘Описание: Этот тип подразумевает интегрирование по интервалу, простирающемуся до бесконечности, например, от конечного числа до положительной или отрицательной бесконечности, или между двумя бесконечными пределами. ∘Пример: Интеграл от 1/x² от 1 до бесконечности: ∫₁^∞ (1/x²) dx.
∘Вычисление:
⬩Замените бесконечный предел переменной (например, b): lim (b→∞) ∫₁^b (1/x²) dx.
⬩Вычислите определённый интеграл: ∫₁^b (1/x²) dx = [-1/x]₁^b = -1/b - (-1/1) = 1 - 1/b.
⬩Возьмём предел, когда b стремится к бесконечности: lim (b→∞) (1 - 1/b) = 1.
⬩Вывод: Поскольку предел — конечное число (1), интеграл сходится.

• Тип 2: Подынтегральные функции с разрывом
∘Описание: Этот тип интеграла возникает, когда интегрируемая функция имеет вертикальную асимптоту или другую форму разрыва на интервале интегрирования.
∘Пример: Интеграл от 1/x от 0 до 1: ∫₀¹ (1/x) dx, где x=0 — точка разрыва.
∘Вычисление:
⬩Подход слева к точке разрыва. ⬩Заменим проблемный предел (0) переменной (например, 'a') и возьмём предел: lim (a→0⁺) ∫ₐ¹ (1/x) dx.
⬩Вычислите определённый интеграл: ∫ₐ¹ (1/x) dx = [ln|x|]ₐ¹ = ln|1| - ln|a| = 0 - ln|a| = -ln|a|.
⬩Возьмём предел при стремлении a к 0 справа: lim (a→0⁺) (-ln|a|) = ∞.
⬩Вывод: Поскольку предел равен бесконечности, интеграл расходится.

💡Сходимость и расходимость
• Сходящийся: Несобственный интеграл сходится, если предел соответствующего определённого интеграла существует и является конечным числом.
• Расходящийся: Несобственный интеграл расходится, если предел не существует или бесконечен.

Используя пределы, несобственные интегралы позволяют определить, может ли неограниченная область под кривой или область с разрывом быть представлена ​​конечным значением.

💡Рабочие листы предоставлены в формате PDF для дальнейшего улучшения вашего понимания:
• Рабочий лист с вопросами: https://drive.google.com/file/d/1nyZA...
• Ответы: https://drive.google.com/file/d/16wbb...

💡Главы:
00:00 Несобственные интегралы
01:31 Решенный пример

🔔Не забудьте поставить лайк, поделиться и подписаться, чтобы получать больше простых обучающих материалов по исчислению.

🔔Подпишитесь:    / @drofeng  
_______________________
⏩Ссылка на плейлист:    • Calculus Full Course Playlist (Calc 1 & 2,...  
_______________________
💥 Подписывайтесь на нас в социальных сетях 💥
🎵TikTok: https://www.tiktok.com/@drofeng?lang=en
𝕏: https://x.com/DrOfEng
🥊: https://rumble.com/user/drofeng