#4str

Описание: Стрим будет уровня hard и на нем будут обсуждаться вопросы связанные с равнобокими гиперболами. Все задачи мы скорее всего обсудить не успеем, но по крайней мере постараемся.

Определение. Равнобокой гиперболой (или равнобочной, равносторонней, прямоугольной) называется гипербола с перпендикулярными асимптотами.

1. Докажите, что если три вершины треугольника лежат на равнобокой гиперболе, то его ортоцентр тоже лежит на этой гиперболе.

2. Через вершины треугольника ABC проведена равнобокая гипербола, пересекающая описанную окружность в точке P, отличной от A, B и C. Докажите, что P и ортоцентр H симметричны относительно центра симметрии гиперболы.

3. Докажите, что центр симметрии равнобокой гиперболы, проходящей через вершины треугольника, лежит на его окружности девяти точек.

4. Пусть Z — это центр равнобокой гиперболы, проходящей через вершины вписанного четырехугольника ABCD. Докажите, что Z лежит на прямой, соединяющей центр описанной окружности O и центр масс M четырехугольника ABCD.

5. Равнобокая гипербола с центром Z проходит через точки P и Q. Точка N — середина отрезка PQ. Докажите, что асимптоты гиперболы являются биссектрисами угла, образованного прямой ZN и прямой, проходящей через Z параллельно PQ.

6. Докажите, что геометрическое место точек X таких, что ∠(BA,BX)=∠(CX,CA) является равнобокой гиперболой, описанной около треугольника ABC.

7. Рассмотрим произвольную прямую ℓ в плоскости треугольника ABC. Докажите, что при изогональном сопряжении относительно треугольника ABC прямая ℓ переходит в кривую второго порядка, описанную около треугольника ABC.

8. Докажите, что прямая ℓ, проходящая через центр O описанной окружности треугольника ABC, при изогональном сопряжении переходит в равнобокую гиперболу, описанную около треугольника ABC. Докажите, что асимптоты гиперболы параллельны прямым Симсона точек пересечения ℓ с описанной окружностью.

9. На плоскости даны четыре точки A, B, C и D. Докажите, что окружности девяти точек треугольников ABC, BCD, CDA и DAB пересекаются в одной точке или совпадают (когда?). В случае, если они не совпадают, их точка пересечения называется точкой Эйлера четверки ABCD.

10. Пусть H — ортоцентр треугольника ABC. Докажите, что точки Эйлера для четвёрок точек ABCD, ABHD, AHCD и HBCD совпадают.

11. На плоскости даны четыре точки A, B, C и D. Пусть ω_A — педальная окружность (или прямая) точки A относительно треугольника BCD. Аналогично определим ω_B, ω_C и ω_D. Докажите, что ω_A, ω_B, ω_C и ω_D пересекаются в одной точке или совпадают (когда?). Эта точка, если существует, называется точкой Понселе четверки ABCD.

12. Докажите, что точки Эйлера и Понселе четверки ABCD, если существуют, то совпадают.

13. Равнобокая гипербола проходит через точки A, B, C и D. Докажите, что ее центр симметрии совпадает с точкой Эйлера-Понселе четверки ABCD, если эта точка существует.

14. (ВсОШ-2018, финал, 10.7) В выпуклом четырехугольнике ABCD углы A и C равны. На сторонах AB и BC отмечены точки M и N соответственно так, что MN || AD и MN=2AD. Пусть K — середина MN и H — ортоцентр треугольника ABC. Докажите, что HK перпендикулярно CD.

15. Точка X вне треугольника ABC такова, что A лежит внутри треугольника BXC. При этом 2∠ XBA=∠ ACB$, $2∠ XCA=∠ ABC. Докажите, что центры описанной и вневписанной со стороны BC окружностей треугольника ABC и точка X лежат на одной прямой.

16. Угол A треугольника ABC равен 60°, точка H — его ортоцентр. Окружность девяти точек высекает на сторонах треугольника три хорды. Докажите, что середины этих хорд и середина отрезка AH лежат на одной окружности.

17. Дан треугольник ABC с ортоцентром H и произвольная точка K. Пусть точки D, E и F — ортоцентры треугольников AHK, BHK и CHK соответственно. Докажите, что площади треугольников ABC и DEF равны.

18. Пусть H — ортоцентр треугольника ABC, P — произвольная точка на окружности описанной около треугольника ABC. Симедиана из вершины A треугольника APH пересекает BC в точке X. Симедиана из вершины B треугольника BPH пересекает CA в точке Y, симедиана из вершины C треугольника CPH пересекает AB в точке Z. Докажите, что точки X, Y и Z коллинеарны.

19. Вписанная окружность касается сторон BC, CA и AB треугольника ABC в точках T_A, T_B и T_C соответственно. Пусть A_B и A_C — проекции вершины A на биссектрисы углов B и C соответственно. Обозначим через ω_A окружность, описанную около треугольника A_BA_CT_A. Определим окружности ω_B и ω_C аналогично. Докажите, что окружности ω_A, ω_B и ω_C имеют общую точку, лежащую на окружности девяти точек треугольника ABC.

20. Дан треугольник ABC и точка D. Докажите, что окружность, проходящая через основания чевиан, проведенных через точку D в треугольнике ABC, проходит через точку Эйлера-Понселе четверки ABCD.

21. Докажите, что точка Эйлера-Понселе четверки ABCI, где I — центр вписанной окружности треугольника ABC, является точка Фейербаха. В частности, верна теорема Емельяновых: точка Фейербаха лежит на чевианной окружности точки I.