सिद्ध करें कि √2 एक अपरिमेय संख्या है | sidh Kare wale sawal | class 10th |

Описание: 💥सिद्ध करें कि √2 एक अपरिमेय संख्या है (Proof that √2 is an Irrational Number)हम यह सिद्ध करने के लिए विरोधाभास की विधि (Method of Contradiction) का उपयोग करेंगे |


चरण 1: मान लें कि √2​ एक परिमेय संख्या है (Assume √2​ is Rational)

मान लीजिए कि √2​ एक परिमेय संख्या (rational number) है।

परिभाषा के अनुसार, यदि √2​ परिमेय है, तो इसे a/b के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ a और b सह-अभाज्य पूर्णांक (co-prime integers) हैं (b0 और a तथा b का कोई सामान्य गुणनखंड (common factor) नहीं है, सिवाय 1 के)।

√2​=ba​

चरण 2: समीकरण को वर्ग करें (Square the Equation)

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:

(√2​)2=(a/b)2

2=a2/b2​

2b2=a2(समीकरण 1)

चरण 3: a2 के बारे में निष्कर्ष (Conclusion about a2)

समीकरण 1 से, यह स्पष्ट है कि a2, 2 से विभाज्य (divisible) है, क्योंकि a2 को 2 के एक गुणनखंड के रूप में लिखा जा सकता है (a2=2×b2)।

इसलिए, a भी 2 से विभाज्य होगा (If a2 is divisible by 2, then a is also divisible by 2).

चरण 4: a का मान प्रतिस्थापित करें (Substitute the Value of a)

चूँकि a, 2 से विभाज्य है, हम a को 2k के रूप में लिख सकते हैं, जहाँ k कोई पूर्णांक (integer) है।

a=2k

इस मान को समीकरण 1 में प्रतिस्थापित करने पर:

2b2=(2k)2

2b2=4k2

दोनों पक्षों को 2 से भाग देने पर:

b2=2k2(समीकरण 2)

चरण 5: b2 के बारे में निष्कर्ष और विरोधाभास (Conclusion about b2 and the Contradiction)

समीकरण 2 से, यह स्पष्ट है कि b2, 2 से विभाज्य है।

इसलिए, b भी 2 से विभाज्य होगा (If b2 is divisible by 2, then b is also divisible by 2).

अब, हमें प्राप्त होता है:

a, 2 से विभाज्य है।

b, 2 से विभाज्य है।

इसका अर्थ है कि a और b दोनों का एक सामान्य गुणनखंड 2 है।

चरण 6: अंतिम निष्कर्ष (Final Conclusion)

यह परिणाम विरोधाभास (Contradicts) है हमारी प्रारंभिक धारणा (initial assumption) के कि a और b सह-अभाज्य (co-prime) हैं (उनका 1 के अलावा कोई सामान्य गुणनखंड नहीं है)।

चूँकि हमारी धारणा गलत सिद्ध हुई, इसलिए हमारी एकमात्र संभावना यह है कि √2​ एक अपरिमेय संख्या (irrational number) है।

अतः, यह सिद्ध होता है कि √2 एक अपरिमेय संख्या है।

क्या आप किसी अन्य अपरिमेय संख्या, जैसे √3 या √5, को सिद्ध करने की प्रक्रिया देखना चाहेंगे?