v3.0.2.1.6.2 (Bachelor) Relationen und Funktionen - Auswahlaxiom und unendliche kartesische Produkte

Описание: Unser Paarmengen-Axiom (ZFC 6.3) liefert Paarmengen und mit der Definition (x,y) := {{x}, {x,y}} Paare. Mit Paaren können wir auf der einen Seite n-Tupel auf der anderen Seite kartesische Produkte und damit Relationen und Funktionen bilden. Mehrmaliges kartesisches Malnehmen erzeugt dann das Produkt mehrerer Mengen.

Wir können aber ein Paar auch als eine Funktion von einer zweielementigen Menge in den Wertevorat ansehen. Ein dreidimensionaler Vektor oder ein Tripel als Funktion einer dreielementigen Menge. Damit können wir ein n-maliges kartesisches Malnehmen einer Menge mit sich selber als Menge der Funktionen einer n-elementigen Menge in die Ausgangsmenge ansehen.

Wenn wir auf diese Weise auch das Produkt unterschiedlicher Mengen aufbauen wollen, wählen wir als Wertebereich die Vereinigung aller beteiligten Mengen. Dann lassen wir nur solche Funktionen zu, deren Werte auf der k-ten Stelle ein Element der k-ten Menge hat. Eine Bedingung die sehr ähnlich dem Auswahlaxiom ist.

Mit dieser Konstruktion können wir das kartesische Produkt auf beliebig viele, auch unendlich, Mengen ausdehnen.

Damit lautet dann das Auswahlaxiom: das kartesische Produkt beliebig vieler nicht leerer Mengen ist nicht leer.

Wenn das nicht eine Sensation ist.


Präsentiert:
Von Jörg Kunze

Voraussetzungen:
Funktion, Paar, Tupel, Familie, kartesisches Produkt, Auswahlaxiom

Siehe auch in den folgenden Videos:

v3.0.2 (Bachelor) Relationen und Funktionen
   • v3.0.2 (Bachelor) Relationen und Funktionen  

v3.0.2.0.4 (Bachelor) Relationen und Funktionen - Familie, Index, Tupel
   • v3.0.2.0.4 (Bachelor) Relationen und Funkt...  

v3.0.1.2.8 (Bachelor) Die Axiome - Auswahlaxiom
   • v3.0.1.2.8 (Bachelor) Die Axiome - Auswahl...  

v3.0.2.1.6 (Bachelor) Relationen und Funktionen - Auswahlaxiom, surjektiv und Rechtsinverses
   • v3.0.2.1.6 (Bachelor) Relationen und Funkt...  

v3.0.1.2.5 (Bachelor) Die Axiome - Mengen konstruieren
   • v3.0.1.2.5 (Bachelor) Die Axiome - Mengen ...  


Quellen:
Siehe auch in den folgenden Seiten:

https://de.wikipedia.org/wiki/Kartesi...
https://de.wikipedia.org/wiki/Auswahl...


Grundlage ist folgendes Buch:
"Grundwissen Mathematikstudium"
Tilo Arens, Rolf Busam, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Hellmuth Stachel
2022
Springer-Verlag
978-3-662-63312-0 (ISBN)
https://www.lehmanns.de/shop/mathemat...

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