Détermination de l'équation de la trajectoire à partir des équations horaires

Описание: Pour déterminer l'équation de la trajectoire d'un mouvement circulaire à partir des équations horaires, on peut utiliser les équations paramétriques du mouvement circulaire.

Soit un objet qui se déplace en cercle de rayon \( R \) autour de l'origine \( O \) d'un système de coordonnées cartésiennes \( (x, y) \). Les équations horaires du mouvement sont données par :

\[ x(t) = R \cos(\omega t + \theta) \]
\[ y(t) = R \sin(\omega t + \theta) \]

où :
\( R \) est le rayon du cercle,
\( \omega \) est la vitesse angulaire,
\( t \) est le temps,
\( \theta \) est la phase initiale (l'angle entre la position de l'objet au temps initial et l'axe des \( x \)).

Pour déterminer l'équation de la trajectoire, on élimine le temps \( t \) entre les deux équations horaires. Pour cela, on peut élever au carré et additionner les deux équations :

\[ x(t)^2 + y(t)^2 = R^2 \]

En substituant les équations horaires dans cette expression, on obtient :

\[ R^2 \cos^2(\omega t + \theta) + R^2 \sin^2(\omega t + \theta) = R^2 \]

En utilisant les identités trigonométriques \( \cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1 \), on obtient :

\[ R^2 = R^2 \]

Ce qui est vrai, donc l'équation obtenue est la même que celle de la trajectoire du mouvement circulaire :

\[ x^2 + y^2 = R^2 \]

Cette équation représente une circonférence de rayon \( R \) centrée à l'origine du système de coordonnées.