Mini-cours sur les matrices hermitiennes

Описание: Il serait temps de réviser nos classiques sur les matrices hermitiennes.

Un premier volet sur les formes hermitiennes. On suppose connus les résultats analogues sur les formes bilinéaires symétriques (congruence, Sylvester, théorème spectral) et on donne le résultat équivalent dans le cas hermitien.

On introduit, dans le cadre d'un espace hermitien, la notion d'adjoint d'un endomorphisme. On montre en préambule l'existence et l'unicité d'un tel adjoint, puis, que dans une base orthonormée (ou unitaire), la matrice de l'adjoint est la trans-conjuguée de la matrice de l'endomorphisme de départ. On prouve ensuite le théorème des endomorphismes normaux qui stipule qu'un endomorphisme est diagonalisable en base orthonormée si et seulement si il commute avec son adjoint.

On donne des exemples célèbres de matrices normales: matrices hermitiennes, antihermitiennes, unitaires et leur équivalents réels. On fait ensuite le point sur la façon dont les matrices hermitiennes et antihermitiennes généralisent la partie réelle et imaginaire...

00:00 Théorème spectral dans le cas hermitien
18:17 Endomorphismes normaux
39:04 Exemples classiques