Формулы Фаульхабера методом суммирования по частям (визуально)

Описание: В этом видео мы исследуем формулы Фаульхабера для суммы первых n положительных степеней числа p (где p — целое число). Суммы целых чисел, квадратов и кубов имеют несколько красивых визуальных доказательств. Здесь мы приводим по одному из самых классических примеров.

Для более высоких степеней визуализация сумм может быть сложной. Однако мы можем визуально обнаружить эти формулы, если индуктивно используем мощный метод суммирования по частям, который имеет наглядное доказательство. Мы покажем, как это сделать для суммы четвертых степеней, и предложим, как расширить это до суммы пятых степеней. Можете ли вы создать больше формул? Можете ли вы использовать суммирование по частям для получения других интересных формул?

Диаграммы и анимация в этом видео основаны на нескольких известных визуальных доказательствах. Источники приведены ниже.

Сумма первых n положительных целых чисел была известна древним грекам, согласно первой книге Роджера Нельсена «Доказательство без слов»:
https://bookstore.ams.org/clrm-1

Чтобы узнать больше о суммировании положительных целых чисел, посмотрите:
   • A Dozen Proofs: Sum of Integers Formula (v...  

Доказательство суммы квадратов основано на визуальном доказательстве Ман-Кеунг Сиу из мартовского номера журнала Mathematics Magazine за 1984 год (https://www.jstor.org/stable/2689589), страница 92.

Для автономных версий см.:
   • Visual Sum of Squares III (proof without w...  
или
   • Summing Squares Geometrically  

Доказательство суммы кубов основано на независимо обнаруженных, отдельных визуальных доказательствах Дж. Барри Лава из мартовского номера журнала Mathematics Magazine за 1977 год (https://www.jstor.org/stable/2689727), стр. 74, и Алан Л. Фрай из январского номера журнала Mathematics Magazine за 1985 год (https://www.jstor.org/stable/2690228), стр. 11.

Для автономной версии этой анимации см.:
   • Sum of Cubes IV (Nicomachus's Theorem)  
или
   • Summing cubes without words #phonk #phonkmath  

Наконец, визуальное доказательство суммирования по частям основано на диаграмме из книги Роджера Нельсена «Cameos for Calculus»:
https://bookstore.ams.org/clrm-49/

#math #manim #mathvideo #sumofintegers #sumofsquares #sumofcubes #mtbos #manim #анимация #теорема #pww #доказательствобезслов #визуальноедоказательство #доказательство #яучуматематике #конечныесуммы #дискретнаяматематика #фаульхабер #формулыфаульхабера #суммыстепеней

Чтобы узнать больше об анимации с помощью manim, посетите:
https://manim.community