185--FFT系列：甚麼是振幅調制Amplitude Modulation？Demo(

Описание: 《振動噪音科普專欄》FFT系列：甚麼是振幅調制Amplitude Modulation？
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這個單元的主題：甚麼是「振幅調制」(Amplitude Modulation)？這是轉動機械的振動量測信號中，常見的一種信號類型，例如：齒輪箱齒輪對的接觸傳動，滾珠/滾子軸承(ball/roller bearing)的內環缺陷(inner race defect)，具有多個扇葉的旋轉風扇，以及馬達的轉子偏心(eccentric rotor)、斷裂的轉子條(cracked or broken rotor bar)和鬆動的轉子條(loose rotor bar)等，量測的振動信號就會有「振幅調制」的現象。

這個單元來看「振幅調制」信號，著重在其現象的探討與本值的特徵。

「振幅調制」信號是三個「簡諧波」(harmonic waves)的組成，參閱圖示，分別是 𝒙1(𝒕)=𝑿1𝐜𝐨𝐬(𝟐𝝅𝒇1 𝒕)，𝑿1 = 1，𝒇1 = 190 Hz。𝒙2(𝒕)=𝑿2𝐜𝐨𝐬(𝟐𝝅𝒇2 𝒕)，𝑿2 = 2，𝒇2 = 200 Hz。𝒙3(𝒕)=𝑿3𝐜𝐨𝐬(𝟐𝝅𝒇3 𝒕)，𝑿3 = 1，𝒇3 = 210 Hz。是三個相位角相同的餘弦波。

參閱圖示，以及觀看影片的讀者，可以區別出有三個獨立的「簡諧波」，分別如圖示的時間波形，可以看出「振幅值」為 2的信號，是 𝒇2 = 200 Hz，而「振幅值」為 1的信號，有兩個「簡諧波」，分別是𝒇1 = 190 Hz及𝒇3 = 210 Hz。

接下來觀察左下方的時間波形圖示，為此三個「簡諧波」的合成信號，呈現出類似”beating”「拍振/拍擊/重擊」的特徵，放大 𝒕=0.2~0.3秒之間的信號來看，參閱放大的時間波形圖示，特徵說明如下：

1. 在 𝒕=0.25秒：合成的信號為零，因為 𝒙2(𝒕)與 𝒙1(𝒕)及 𝒙3(𝒕)呈現反相(out of phase)，有 180°相位角度差異，所以合成信號的大小是：𝑿2 –(𝑿1+ 𝑿3)= 2–(1+1)= 0。
2. 在 𝒕=0.2秒及 𝒕=0.3秒：合成的信號為4，因為 𝒙2(𝒕)與 𝒙1(𝒕)及 𝒙3(𝒕)呈現同相(in phase)，沒有相位角差異，所以合成信號的大小是：𝑿2 +(𝑿1+ 𝑿3)= 2+ (1+1)= 4。

對此三個「簡諧波」的合成信號，進行「FFT頻譜分析」，可以得其「傅立業頻譜」𝑿(𝒇)，如預期分別在頻率 𝒇1 = 190 Hz，振幅 𝑿1 = 1，𝒇3 = 210 Hz，振幅 𝑿3 = 1，以及頻率 𝒇2 = 200 Hz，振幅 𝑿2 = 2。此「振幅調制」信號，在「傅立業頻譜」𝑿(𝒇)有甚麼重要特徵呢？說明如下：

1. 「中心頻率」(center frequency)：三個簡諧波的「中心頻率」在此例就是𝒇2 = 200 Hz，其「振幅值」為𝑿2 = 2。
2. 「邊帶頻率」(side band frequency)：是除了「中心頻率」外，三個簡諧波的另外兩個頻率的簡諧波，其實際的頻率分別是𝒇1 = 190 Hz及𝒇3 = 210 Hz，有一個重要特徵是，𝒇2 –𝒇1= 10 Hz，而且，𝒇3 –𝒇2= 10 Hz，因此，「邊帶頻率」就是 10 Hz。而𝒇1 = 190 Hz及𝒇3 = 210 Hz的兩個簡諧波稱為「邊帶」(side bands)。

所以，可以知道「振幅調制」信號，是三個「簡諧波」的合成信號，有一個「中心頻率」，另外有兩個「邊帶」的「簡諧波」，分別減少及增加了「邊帶頻率」。在此範例，「中心頻率」是 𝒇2 = 200 Hz，「邊帶頻率」是 10 Hz，所以，兩個「邊帶」的「簡諧波」，分別是 𝒇1 = 190 Hz及 𝒇3 = 210 Hz。

接下來，要觀察探討的是「振幅調制」三個「簡諧波」信號，他們的「振幅值」對時間波形差異的影響。

以下的討論，令兩個「邊帶」的「簡諧波」之「振幅值」都是𝑿1 = 1，𝑿3 = 1，變化不同的「中心頻率」之「振幅值」𝑿2，說明如下：

1. 「中心頻率」之「振幅值」𝑿2= 3：參閱右側第一個圖示，在「傅立業頻譜」𝑿(𝒇)有3個峰值(peaks)，分別對應了「中心頻率」，以及兩個「邊帶」的「簡諧波」之實際頻率，而3個峰值(peaks)頻率對應的「振幅值」，均如預期是𝑿2 = 3，以及𝑿1 = 1，𝑿3 = 1。在「時間波形」𝒙(𝒕)，波動信號的最大值為5，低值為1。因為，最大值為 𝑿2 +(𝑿1+ 𝑿3)= 3+ (1+1)= 5，低值為𝑿2 –(𝑿1+ 𝑿3)= 3–(1+1)= 1。
2. 「中心頻率」之「振幅值」𝑿2= 5：參閱右側第二個圖示，在「傅立業頻譜」𝑿(𝒇)有3個峰值(peaks)，分別對應了「中心頻率」，以及兩個「邊帶」的「簡諧波」之實際頻率，而3個峰值(peaks)頻率對應的「振幅值」，均如預期是𝑿2 = 5，以及𝑿1 = 1，𝑿3 = 1。在「時間波形」𝒙(𝒕)，波動信號的最大值為7，低值為3。因為，最大值為 𝑿2 +(𝑿1+ 𝑿3)= 5+ (1+1)= 7，低值為𝑿2 –(𝑿1+ 𝑿3)= 5–(1+1)= 3。
3. 「中心頻率」之「振幅值」𝑿2= 7：參閱右側第三個圖示，在「傅立業頻譜」𝑿(𝒇)有3個峰值(peaks)，分別對應了「中心頻率」，以及兩個「邊帶」的「簡諧波」之實際頻率，而3個峰值(peaks)頻率對應的「振幅值」，均如預期是𝑿2 = 7，以及𝑿1 = 1，𝑿3 = 1。在「時間波形」𝒙(𝒕)，波動信號的最大值為9，低值為5。因為，最大值為 𝑿2 +(𝑿1+ 𝑿3)= 7+ (1+1)= 9，低值為𝑿2 –(𝑿1+ 𝑿3)= 7–(1+1)= 5。

由以上討論，可以觀察出「振幅調制」的合成信號，在時間波形的特徵，會因為「中心頻率」的「振幅值」差異而有不同的效應。當兩個「邊帶」的「簡諧波」之「振幅值」，和「中心頻率」的「振幅值」很相近時，呈現出強烈的”beating”「拍振/拍擊/重擊」的特徵，有「嗡–嗡–嗡–嗡–」的循環聽感。

如果，兩個「邊帶」的「簡諧波」之「振幅值」，和「中心頻率」的「振幅值」差異較大時，「嗡–嗡–嗡–嗡–」的”beating”「拍振/拍擊/重擊」循環聽感，就不會那麼強烈。

在此要特別注意，「振幅調制」的信號和「拍振/拍擊/重擊」的信號，在時間波形的特徵是相似的，從時間波形是無法區別，此信號是「振幅調制」或是「拍振/拍擊/重擊」的信號。

要區別「振幅調制」的信號和「拍振/拍擊/重擊」的信號，必須由「傅立業頻譜」𝑿(𝒇)，才可以區別出來。「振幅調制」的信號是三個「簡諧波」的合成信號，而「拍振/拍擊/重擊」的信號是兩個「簡諧波」的合成信號。

綜合一下本單元有關「振幅調制」信號的討論，統整如下：

1. 「振幅調制」的信號是三個「簡諧波」的合成信號。
2. 「振幅調制」的信號，在時間波形，和「拍振/拍擊/重擊」信號有相同的特徵。
3. 「振幅調制」的三個「簡諧波」信號，一個是「中心頻率」，另外兩個是「邊帶」的「簡諧波」。而且，這兩個「邊帶」的「簡諧波」之頻率與「中心頻率」的差值相同。
4. 「邊帶頻率」是「中心頻率」和兩個「邊帶」的「簡諧波」頻率之差值。
5. 「中心頻率」和「邊帶」的「簡諧波」之「振幅值」會影響時間波形的特徵。

以上個人看法，請多指教！

王栢村
2020.10.15