Solución Tarea 3 – Sistemas de Ecuaciones Lineales, Rectas y Planos | Álgebra Lineal UNAD 2025-02

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Ejercicio 1. Conceptualización de sistemas de ecuaciones lineales en el plano

1️⃣ Dibuje una gráfica en GeoGebra que corresponda al sistema de ecuaciones lineales dado y determine geométricamente si el sistema tiene una solución única, un número infinito de soluciones o ninguna solución.
2️⃣ Resuelva el sistema de ecuaciones algebraicamente para confirmar su respuesta.

Opciones:
A. { 3x + 2y = −1 ; 6x − 4y = 5 }
B. { 10x + 5y = 22 ; 8x + 8y = 20 }

Ejercicio 2. Solución de sistemas de ecuaciones lineales 3x3


1️⃣ Resuelva el sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de eliminación de Gauss-Jordán.
2️⃣ Realice la comprobación utilizando GeoGebra u otro programa computacional similar.

Opciones:
A. { −x − y − z = 1 ; x + 2y + 3z = 2 ; 3x + 2y + 3z = 3 }
B. { x + 2y − z = 3 ; 2x + 3y + z = 7 ; x − y + 2z = 4 }

Ejercicio 3. Aplicación de los sistemas de ecuaciones lineales


1️⃣ Determine el sistema de ecuaciones lineales que representa el problema.
2️⃣ Resuelva dicho sistema usando alguno de los siguientes métodos: Eliminación de Gauss-Jordán, Eliminación Gaussiana o Regla de Cramer.
3️⃣ Realice la comprobación utilizando GeoGebra u otro programa similar.
4️⃣ Explique la solución del problema en un video, siguiendo las indicaciones dadas en la guía de aprendizaje.

A.
Diego, Enrique y Matías se reparten un premio de 9450 USD de forma directamente proporcional a sus edades.
La suma de las edades de Diego y Enrique excede en tres años al doble de la edad de Matías.
Además, la edad total es 45 años.
Sabiendo que Diego recibe 420 USD más que Matías, calcule las edades y el dinero que recibe cada uno.

B.
En una agencia de viajes se venden 60 boletos con destino a Medellín, Bogotá y Cartagena.
El número de boletos para Bogotá es el doble de los vendidos para los otros dos destinos juntos,
y para Cartagena se emiten dos más que la mitad de los vendidos para Medellín.
¿Cuántos boletos se vendieron para cada destino?

C.
En la Clínica de Rehabilitación La María, se atienden pacientes en tres programas diferentes: rehabilitación física, recuperación postoperatoria y nutrición avanzada.
Cada uno de estos programas requiere suplementos nutricionales específicos en diferentes proporciones.
Los suplementos utilizados son: proteína en polvo, vitaminas y minerales.
Durante una semana, los responsables de nutrición determinaron la cantidad total de suplementos utilizados en los tres programas.
Cada paciente que asiste a un programa consume una combinación fija de suplementos, como se muestra a continuación:

Rehabilitación física: 3 porciones de proteína, 2 de vitaminas y 1 de minerales por paciente.

Recuperación postoperatoria: 2 porciones de proteína, 3 de vitaminas y 2 de minerales por paciente.

Nutrición avanzada: 4 porciones de proteína, 1 de vitaminas y 3 de minerales por paciente.

En total, durante la semana se utilizaron 106 porciones de proteína, 59 porciones de vitaminas y 71 porciones de minerales.
¿Cuántos pacientes fueron atendidos en cada programa?

D.
Un ingeniero diseña una aleación con tres metales: cobre, zinc y níquel.
Para obtener la resistencia deseada, la aleación debe cumplir con las siguientes condiciones:
La cantidad total de material debe ser 100 kg.
La cantidad de cobre debe ser el doble de la cantidad de zinc.
La cantidad de níquel debe ser 8 kg menos que la suma de cobre y zinc.
¿Cuántos kilogramos de cada metal debe mezclar?

E.
Un fabricante produce tres artículos: A, B y C.
La utilidad por cada unidad vendida de A, B y C es $1, $2 y $3, respectivamente.
Los costos fijos son de $17.000 por año y los costos de producción por cada unidad son $4, $5 y $7, respectivamente.
El año siguiente se producirán y venderán un total de 11.000 unidades entre los tres productos y se obtendrá una utilidad total de $25.000.
Si el costo total será de $80.000, ¿cuántas unidades de cada producto deberán producirse el año siguiente?

🧮 Ejercicio 4. Los diferentes tipos de ecuaciones de la recta en R³

1️⃣ Halle la ecuación vectorial de la recta en R³.
2️⃣ Halle las ecuaciones paramétricas de la recta en R³.
3️⃣ Halle las ecuaciones simétricas de la recta en R³.
4️⃣ Realice la comprobación computacional utilizando GeoGebra u otra calculadora vectorial.
A. De la recta que pasa por los puntos P(2, 3, -4) y Q(3, -2, 5).
B. De la recta que pasa por los puntos P(-1, 5, 0) y Q(2, 1, 1).

📐 Ejercicio 5. La ecuación normal del plano

Resuelva el siguiente problema relacionado con planos en el espacio utilizando los conceptos teóricos correspondientes y grafique la solución utilizando GeoGebra.

Literales disponibles:
A. Determine la ecuación normal del plano que contiene los puntos: P = (-1, 2, 4), Q = (3, -1, 2) y R = (2, 4, 1).
B. Determine la ecuación normal del plano que contiene los puntos: P = (1, 3, 2), Q = (-2, -4, 3) y R = (-1, -4, -3).