Seminario RdF - David Alonso Gutiérrez - Secciones de cuerpos convexos en posición de John

Описание: Conferencia en el Seminario Rubio de Francia.
IUMA - Universidad de Zaragoza

Título: Secciones de cuerpos convexos simétricos en posición de John
Conferenciante: David Alonso Gutiérrez
Afiliación: Universidad de Zaragoza

Resumen: Un cuerpo convexo $K\subseteq\mathbb{R}^n$ (i.e., un conjunto convexo, compacto con interior no vacío) se dice que está en posición de John si el elipsoide de máximo volumen contenido en $K$ es la bola euclídea, $B_2^n$. Esta posición está caracterizada por el hecho de que $B_2^n\subseteq K$, junto con la existencia de unos puntos de contacto $(v_j)_{j=1}^m\subseteq\partial K\cap S^{n-1}$ y unos escalares $(c_j)_{j=1}^m\subseteq(0,\infty)$ que proporcionan una descomposición de la identidad en $\mathbb{R}^n$.

Esta caracterización, junto con la desigualdad de Brascamp-Lieb, ha permitido demostrar que, entre todos los cuerpos convexos centralmente simétricos en posición de John en $\mathbb{R}^n$, el cubo unidad, $B_\infty^n$, es el que maximiza varios parámetros geométricos como el volumen, la anchura media o el funcional de Wills.

K. Ball demostró en los años 90 que, en el caso del cubo unidad, si $H$ es un subespacio lineal $k$-dimensional, entonces
$$
\textrm{vol}_k(B_\infty^n\cap H)\leq\left(\frac{n}{k}\right)^\frac{k}{2}\textrm{vol}_k(B_\infty^k),\quad\textrm{y}\quad\textrm{vol}_k(B_\infty^n\cap H)\leq2^\frac{n-k}{2}\textrm{vol}_k(B_\infty^k),
$$
siendo la primera estimación óptima si $k$ divide a $n$, y la segunda si $k\geq\frac{n}{2}$. Mientras que ambas estimaciones dependen del uso de la desigualdad de Brascamp-Lieb inequality, la segunda utiliza técnicas analíticas de Fourier y depende fuertemente del hecho de que un vector aleatorio uniformemente distribuido en el cubo unidad tiene coordenadas independientes e identicamente distribuidas.

En esta charla discutiremos ambas estimaciones para obtener desigualdades para el volumen y otros parámetros geométricos de secciones de cuerpos convexos centralmente simétricos en posición de John.

Se trata de un trabajo conjunto con Silouanos Brazitikos y Giorgos Chasapis.

Web del seminario: http://anamat.unizar.es/seminario.html

Seminario organizado por David Alonso, Glenier Bello y Luis C. García-Lirola.