Найдите площадь области между кривыми y=9-x^2 и y=x^2+1.

Описание: В этом видео объясняется, как найти площадь области между двумя кривыми: y = 9 - x² и y = x² + 1 (00:00).

Вот пошаговое описание процесса:

Построение парабол: Видео начинается с демонстрации построения точек для обеих парабол, чтобы визуализировать их форму и положение (0:15-2:53).
Для y = x² + 1 ключевые точки включают (0,1), (+/-1, 2) и (+/-2, 5) (0:32-1:11).
Для y = 9 - x² ключевые точки включают (0,9), (+/-1, 8) и (+/-2, 5) (1:48-2:30).

Нахождение точек пересечения: Для определения пределов интегрирования точки пересечения двух кривых находятся путем приравнивания их значений y друг к другу (3:04).

Решение уравнения x² + 1 = 9 - x² приводит к 2x² = 8, следовательно, x² = 4, что означает x = +/-2 (4:34-4:56).
Подставляя эти значения x обратно в любое из уравнений, получаем y = 5, что подтверждает, что точками пересечения являются (-2, 5) и (2, 5) (5:03-5:20).

Составление интеграла: Площадь между кривыми находится путем интегрирования разности между верхней кривой (y = 9 - x²) и нижней кривой (y = x² + 1) по x, от нижнего предела x (-2) до верхнего предела x (2) (5:31-9:16).

Интеграл принимает вид ∫(-2 до 2) [(9 - x²) - (x² + 1)] dx, что упрощается до ∫(-2 до 2) (8 - 2x²) dx (9:29-9:41).

Вычисление интеграла: Выполняется интегрирование и применяются пределы (9:45-11:06).
Первообразная (8 - 2x²) равна 8x - (2x³/3) (9:45-9:58).
Вычисление этой производной от -2 до +2 дает 64/3 квадратных единиц (11:06-11:20).