Az informatika logikai és algebrai alapjai 7 - Komplex Számok

Описание: Ez a több mint kétórás magyar nyelvű előadás a komplex számok témakörét járja körül, az alapvető definícióktól egészen a haladóbb ábrázolási módokig.

Főbb témakörök és fejezetek:
Bevezetés és motiváció [01:09]: Az előadó ismerteti, hogy a valós számok körében bizonyos egyenleteknek (pl. x
2
=−1) nincs megoldása. Bevezeti az i képzetes egységet, amelyre teljesül az i
2
=−1 azonosság. Említést tesz Bolyai János szerepéről is az absztrakció elfogadásában [01:39].

A komplex szám fogalma [05:46]: Definíció szerint a komplex számok a+bi alakú kifejezések, ahol a és b valós számok. Itt ismerhetjük meg a valós rész (Re) és a képzetes rész (Im) fogalmát [08:24].

Geometriai ábrázolás [09:34]: A komplex számok szemléltetése a komplex számsíkon történik, ahol minden számhoz egy pont vagy egy helyvektor rendelhető. A vízszintes tengely a valós, a függőleges a képzetes tengely [11:29].

Alapműveletek [12:04]:

Összeadás és kivonás: Algebrailag tagonként, grafikusan a paralelogramma-szabály szerint történik [13:11].

Szorzás: A szokásos algebrai szabályok szerint, az i
2
=−1 behelyettesítésével [20:48].

Osztás: A nevező konjugáltjával való bővítés trükkjét alkalmazva tesszük valóssá a nevezőt [25:26].

Konjugált és abszolút érték:

Konjugált: A z=x+iy szám konjugáltja
z
ˉ
=x−iy, ami a valós tengelyre való tükrözésnek felel meg [37:47].

Abszolút érték: A komplex szám (vagy vektor) hossza, amelyet a Pitagorasz-tétellel,
x
2
+y
2


​
módon számolunk [48:45].

Trigonometrikus alak [01:00:26]: A szám megadható a hossza (r) és a pozitív valós tengellyel bezárt szöge (ϕ) segítségével: z=r(cosϕ+isinϕ). Ebben az alakban a szorzás és osztás sokkal egyszerűbb műveletté válik [01:17:47].

Hatványozás és gyökvonás [01:20:27]: Bemutatásra kerül a Moivre-képlet, amely megkönnyíti a magasabb hatványok kiszámítását. Az n-edik gyökvonás során egy komplex számnak pontosan n darab különböző gyöke van a síkon [01:27:35].

Exponenciális alak (Euler-formula) [02:03:04]: Bevezeti a z=r⋅e
iϕ
jelölést, amely az Euler-azonosságon alapul. Az előadás végén szó esik a komplex kitevős exponenciális függvényekről és azok analízisbeli alkalmazásairól [02:07:13].