Integral de LÍNEA con 3 DIFERENCIALES | Cálculo III

Описание: 1. Qué tipo de integral es esta

La expresión

∫
𝐶
𝑧
2
 
𝑑
𝑥
+
𝑥
2
 
𝑑
𝑦
+
𝑦
2
 
𝑑
𝑧
∫
C
​

z
2
dx+x
2
dy+y
2
dz

no es:

tres integrales independientes,

ni una integral triple,

ni una integral “por pedazos”.

Es una integral de línea de un campo vectorial.

2. Qué significa cada término (interpretación correcta)

Aquí hay un campo que asigna, en cada punto del espacio, un vector:

la componente en la dirección
𝑥
x vale
𝑧
2
z
2
,

la componente en la dirección
𝑦
y vale
𝑥
2
x
2
,

la componente en la dirección
𝑧
z vale
𝑦
2
y
2
.

Y lo que se hace es:

sumar la contribución del campo proyectada sobre el desplazamiento infinitesimal a lo largo de la curva.

3. Entonces, ¿qué significa “
𝑧
2
 
𝑑
𝑥
z
2
dx”?

No significa:

“integrar
𝑧
2
z
2
respecto de
𝑥
x como si fuera una integral normal”.

Significa:

tomar el valor
𝑧
2
z
2
en el punto de la curva, y multiplicarlo por cuánto avanzaste en la dirección
𝑥
x en ese instante.

Lo mismo para:

𝑥
2
 
𝑑
𝑦
x
2
dy: cuánto avanzas en
𝑦
y, ponderado por
𝑥
2
x
2
,

𝑦
2
 
𝑑
𝑧
y
2
dz: cuánto avanzas en
𝑧
z, ponderado por
𝑦
2
y
2
.

4. La clave conceptual (esto es lo importante)

A lo largo de la curva:

𝑥
x,
𝑦
y y
𝑧
z dependen del mismo parámetro (por ejemplo, el tiempo),

y también lo hacen
𝑑
𝑥
dx,
𝑑
𝑦
dy,
𝑑
𝑧
dz.

No se elige “qué integrar con qué”.
Todo ocurre simultáneamente mientras recorres la curva.

5. Analogía física (muy útil)

Piensa en trabajo mecánico:

la fuerza tiene componentes en
𝑥
x,
𝑦
y,
𝑧
z,

el desplazamiento también.

El trabajo es:

fuerza · desplazamiento

Aquí pasa exactamente lo mismo:

𝑧
2
,
𝑥
2
,
𝑦
2
z
2
,x
2
,y
2
juegan el papel de una fuerza,

𝑑
𝑥
,
𝑑
𝑦
,
𝑑
𝑧
dx,dy,dz son el desplazamiento.

6. Resumen final (respuesta directa)

✔️ Sí, cada término “acompaña” al diferencial de su dirección
❌ No, no se integran como integrales independientes

👉 Es una suma de contribuciones direccionales del campo a lo largo de la curva.

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