Плотность рациональных чисел, действительный анализ 1

Описание: Я доказываю, что рациональные числа плотны как подмножество числовой прямой: для любых двух действительных чисел a меньше b между ними существует рациональное число r. Более того, можно продолжать увеличивать масштаб и найти бесконечное множество рациональных чисел.

Я привожу строгое доказательство, используя принцип Архимеда, организованное по случаям в зависимости от того, является ли конечная точка рациональным или иррациональным числом. В каждом случае я явно строю рациональное число, лежащее строго между двумя заданными действительными числами.

Я также упоминаю важное следствие: иррациональные числа также плотны на числовой прямой.

Во второй части видео я применяю плотность рациональных чисел для доказательства известного результата о степенях действительных чисел. Если число лежит строго между -1 и 1, то его степени становятся сколь угодно близкими к нулю. Я показываю, как выразить это с помощью утверждения в стиле эпсилон, и доказываю это, используя плотность, принцип Архимеда и неравенство Бернулли.

#высшаяматематическаяподготовка #действительныечисла #действительныйанализ #математика #математика #рациональныечисла #рациональныечисла #математическоедоказательство