Третий столп алгебры: Поля | Абстрактная алгебра | Теория полей | Догматика

Описание: https://dogmathic.com/

Что такое поле на самом деле? Мы начнем с нуля, с множества F и двух операций, + и ·, а затем запишем аксиомы, вместо того чтобы прятать их за одним предложением.
Во-первых, (F,+) должно быть абелевой группой: замкнутость, ассоциативность, аддитивный нейтральный элемент 0, аддитивные обратные элементы и коммутативность. Далее мы убираем ноль и рассматриваем F* = F \ {0}. Ключевое улучшение по сравнению с кольцами заключается в том, что (F*,·) также является абелевой группой: каждый ненулевой элемент имеет мультипликативный обратный элемент, и существует мультипликативный нейтральный элемент 1. Затем мы связываем две операции с помощью левой и правой дистрибутивности. Отсюда мы переходим к основным фактам о полях, таким как отсутствие делителей нуля, и перечисляем стандартные примеры: Q, R, C и конечные поля F_p = Z/pZ, когда p — простое число.

Во-первых, (F,+) должно быть абелевым полем: замкнутость, ассоциативность, аддитивная нейтральность 0, аддитивные обратные элементы и коммутативность. Затем мы переходим к подполям и тесту подполей, показываем классические цепочки, такие как Q ⊆ R ⊆ C, и говорим о характеристике char(F). Мы определяем характеристику посредством многократного сложения 1, вычисляем примеры, такие как char(Z/5Z)=5 и char(Q)=0, и объясняем большую теорему: характеристикой поля является либо простое число p, либо 0. Наконец, мы представляем обзор расширений полей, включая Q(√2) и конечное расширение поля F4, построенное из F2[x]/(x^2 + x + 1), где α^2 = α + 1 заставляет каждый элемент выглядеть как a + bα.

   • The Secret Structure Hidden Inside F2[x] m...  
   • An Infinite Group Example You Can Prove By...  
   • The Gateway to Group Theory: Groups in Und...  
   • The Backbone of Algebra: Rings In 40 Minut...  
   • The Hidden Glue: The Inverse Trick Powerin...  
   • Abstract Algebra  

ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ СВОЙСТВА И ПОНЯТИЯ
Поле как множество с двумя операциями + и ·
Аксиомы абелевой группы для (F,+)
Замкнутость, ассоциативность, тождественность 0, обратные элементы, коммутативность сложения
Ненулевое множество F* = F \ {0}
Аксиомы абелевой группы для (F*,·)
Мультипликативная тождественность 1 и мультипликативная Обратные поля
Левый и правый дистрибутивные законы
Поля не имеют делителей нуля
Примеры Q, R, C
Конечные поля F_p = Z/pZ для простого p
Определение подполей и наследование аксиом
Проверка подполей с использованием 1 ∈ K, a-b ∈ K, a·b^{-1} ∈ K
Характеристика char(R) через n·1 = 0
char(F) — простое p или 0
Подполя должны иметь общую характеристику с полем
Простое подполе
Расширения полей E/F
Присоединение √2 для получения Q(√2)
Алгебраические элементы и решение x^2 - 2 = 0
Конечное расширение F4 из F2[x]/(x^2 + x + 1) и α^2 = α + 1
Нормальная форма a + bα в F4

РАЗДЕЛЫ
00:00 Введение
00:50 Три ракеты
01:45 Определение поля
02:35 Аксиомы сложения
04:10 Умножение на F*
06:40 Дистрибутивность
07:55 Примеры полей
09:25 Подполя
11:35 Критерий подполя
13:05 Примеры подполей
14:25 Характеристика
16:55 Примеры характеристик
18:40 Характеристика — простое число или ноль
20:10 Краткое изложение доказательства
22:05 Характеристика и подполя
23:50 Простое подполе
25:00 Расширения полей
26:30 Q(√2)
28:40 Решение x^2 - 2
30:45 Построение F4
33:10 Элементы F4
35:20 Заключение
36:19 Спасибо за просмотр

#dogmathic #AbstractAlgebra #ТеорияПоля #Поля #Подполя #Характеристика #РасширенияПоля
#КонечныеПоля #Fp #F2 #F4 #КольцаИПеля