Un subgrupo del menor índice posible en el grupo finito G es normal

Описание: Sea G un grupo de orden finito n (mayor que 1). Sea p el primo más pequeño que divide a n. Si H es un subgrupo de G de orden n/p entonces H es normal en G.

Este es el ejercicio 7 de la sección 1.7 del libro "Álgebra Abstracta" de Guerrero y Pérez. La redacción que se muestra en dicho libro es desafortunada, por decir lo menos, así que en este video la mejoramos sustancialmente.

La prueba elegida no requiere acciones de grupos, aunque la demostración más común utiliza esa herramienta; posiblemente se elaborará el video correspondiente.

La segunda parte del argumento se puede aplicar a p-grupos finitos:

Sea p un primo y P un p-grupo finito, lo que es equivalente a decir que el orden de P es p^{a}. Por el argumento con el que se construye el Primer Teorema de Sylow, mediante acciones de grupos, se tiene que si L es un subgrupo de P de orden p^{a-1} entonces L es normal en P. No se puede asegurar lo mismo si H es un subgrupo de G de orden p^{a-2}, por ejemplo, en el grupo de movimientos rígidos de un cuadrado, el cual es un grupo de orden 8, existen subgrupos de orden 2 que no son normales. Ahora bien, si H es de orden p^{a-2} y está contenido en dos subgrupos, distintos, de orden p^{a-1}, entonces H es normal en P. También en el grupo de movimientos rígidos del cuadrado y en el grupo cuaternión hay ejemplos de esto.

Por supuesto que la idea se extiende inmediatamente a otros contextos


Elaboración video: Guerrero.