RESPOSTAS - MAPA - GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR - 53/24

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ETAPA 1 – SISTEMA LINEAR E MATRIZES
Um sistema dinâmico é um modelo matemático que descreve a evolução de um sistema
ao longo do tempo. Ele é caracterizado por um conjunto de variáveis de estado que
mudam em resposta a regras ou equações específicas. Sistemas dinâmicos são usados
para modelar uma ampla variedade de fenômenos naturais e artificiais, desde a
mecânica clássica até a economia e a biologia.
Considere o sistema a seguir:
E1 = x + 4y
E2 = 2x - 3y
a) Qual a matriz que representa o sistema formado pelas equações E1 e E2?
b) Qual o determinante da matriz de “a”?
c) Qual a matriz inversa da matriz de “a”?

ETAPA 2 – TRANSFORMAÇÔES LINEARES
Uma transformação linear é uma função entre espaços vetoriais que mantém a estrutura
aditiva e multiplicativa desses espaços. Essas transformações são fundamentais em
muitas áreas da matemática e física, fornecendo uma maneira de modelar e analisar
fenômenos lineares de maneira sistemática e estruturada.
Considerando o sistema da ETAPA 1 como uma transformação linear:
T (x,y) = (E1 ,E2)
a) Qual a transformação de (1,2)?
b) Qual a transformação de (-1,-1)?
c) Qual a transformação de (-3,4)?
d) Qual o Núcleo da T.L. e sua dimensão?
e) Qual a imagem da T.L e sua dimensão?

ETAPA 3 – AUTOVALORES E AUTOVETORES
Um autovalor é um número escalar associado a uma matriz ou a uma transformação
linear. Especificamente, se A é uma matriz n×n, então um escalar λ é um autovalor de
A se existir um vetor não nulo v tal que a aplicação da matriz A sobre o vetor v resulta
em um múltiplo escalar desse vetor.
a) Quais os autovalores da Transformação Linear da Etapa 2?
b) Quais os autovetores da Transformação Linear da Etapa 2?
c) Sabendo que, para ser estável, todos os autovalores devem ser negativos, o sistema é
estável ou instável?