(Polynômes) Relations coefficients - racines
Автор: F Maalouf
Загружено: 2023-05-12
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Cette vidéo fait partie d'une série sur les colles, exercices type et grands classiques des concours des grandes écoles. Lien pour la playlist: • Déterminants (10/14): déterminant de Hürwitz
Dans cette vidéo nous travaillons les fonctions symétriques des racines d'un polynôme.
Dans le premier exercice, nous résolvons le système suivant :
\begin{equation}
\left{
\begin{aligned}
& a + b + c = 1, \
& a^2 + b^2 + c^2 = 7, \
& \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1.
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
En trouvant les coefficients du polynôme unitaire dont $a$, $b$ et $c$ sont les racines, nous parvenons à résoudre ce système délicat.
Dans le deuxième exercice, nous explorons les relations entre les coefficients et les racines complexes du polynôme $P(X)=X^3-3X+1$. Nous démontrons que les racines $a$, $b$ et $c$ sont distinctes deux à deux, puis nous calculons différentes expressions symétriques incluant $a^2+b^2+c^2$, $a^3+b^3+c^3$, $a^6+b^6+c^6$ et $\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$.
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![[DET#6] Racines d'un polynôme & Factorisation (Démonstration)](https://image.4k-video.ru/id-video/hyCkGgbf3eg)
![Factorisation d’un polynôme — Factorisation dans C[X]](https://image.4k-video.ru/id-video/Isqvm485o00)
