Théorème de Cayley–Hamilton & et théorème de Trace Cayley–Hamilton : Une nouvelle démonstration

Описание: ---

🎬 *Titre proposé*

*« Cayley–Hamilton & Trace Cayley–Hamilton : Deux théorèmes fondamentaux expliqués simplement »*

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📝 *Description détaillée de la vidéo*

Dans cette vidéo, je vous propose un voyage au cœur de l’un des résultats les plus élégants et puissants de l’algèbre linéaire : **le théorème de Cayley–Hamilton**, qui affirme que *toute matrice annule son propre polynôme caractéristique*.

Nous commencerons par rappeler la définition du polynôme caractéristique et les notations essentielles. Ensuite, nous découvrirons la preuve classique, inspirée de la méthode historique de Buchheim : la décomposition de l’adjugée de ( tI - A ) comme un polynôme matriciel en ( t ). Cette approche est entièrement algébrique et fonctionne sur n’importe quel anneau commutatif.

Dans la deuxième partie, nous passerons à une généralisation profonde et beaucoup moins connue :

**le théorème de trace de Cayley–Hamilton**,

qui relie les coefficients du polynôme caractéristique aux traces des puissances de ( A ), via une identité universelle valable pour tout ( k \in \mathbb{N} ) :
[
k c_k + \sum_{i=1}^{k} \operatorname{Tr}(A^i) , c_{k-i} = 0 .
]

Nous verrons :

comment cette identité apparaît naturellement en dérivant le déterminant ( \det(tI-A) ),
pourquoi la dérivation du polynôme caractéristique mène à la trace de l'adjugée,
en quoi cette formule généralise les *identités de Newton* reliant traces et polynôme caractéristique,
et comment le théorème de trace de Cayley–Hamilton peut être utilisé pour des critères de nilpotence.

Cette vidéo est pensée pour les étudiants avancés, les passionnés d’algèbre et ceux qui souhaitent comprendre les idées structurelles derrière ces théorèmes, plutôt que d’appliquer seulement les formules.

*Au programme :*

1. Rappel du polynôme caractéristique
2. Définition et propriétés de l’adjugée
3. Preuve algébrique du théorème de Cayley–Hamilton
4. Dérivation du déterminant : (\partial \det = \operatorname{Tr}(\text{adj}(A)\cdot \partial A))
5. Énoncé et preuve du théorème de trace de Cayley–Hamilton
6. Interprétation via les identités de Newton
7. Application : critère de nilpotence basé sur les traces

🎓 Une vidéo indispensable pour mieux comprendre la structure profonde des matrices.

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🔖 *Hashtags*

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