Démontrer une Récurrence à l'aide d'une FONCTION AUXILIAIRE - Exercice Corrigé - Terminale

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#maths #terminale #exercicecorrigé Comment démontrer par récurrence qu'une suite est croissante ou décroissante en passant par une fonction auxiliaire ?

L'énoncé est le suivant :
Soit la suite définie par : { u_0 = 1 ; u_(n+1) = 5 - 4/(u_n+2)
1) Étudiez le sens de variation de f(x)=5-4/(x+2) sur [0;+∞[
2) Démontrez par récurrence que la suite est croissante et positive.

Pour étudier les variations d'une fonction, il faut :
1) dériver f : f'
2) étudiez le signe de f'
3) en déduire les variations de f

Pour démontrer par récurrence, il faut analyser dans l’énoncé :
1) Qu’est ce que je dois démontrer ?
2) Où est-ce que je dois le démontrer ?
3) Comment faire l’hérédité ?

On peut comparer les images d’une fonction dans un intervalle ou la fonction f est monotone :
Si f est croissant ↗ :
a≤b
f(a)≤f(b)

Si f est décroissant ↘ :
a≤b
f(a)≥f(b)

Pour l'hérédité, il faut juste composer l’hypothèse de récurrence Pn avec la fonction f qui nous donne Pn+1, car un+1 = f(un)
 


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crédit musique :
Titre: Moods for Stacey
Auteur: Tri-Tachyon