Klausur LA 2 (Jordan-Normalform, Minimalpolynom, orthogonale Matrix, Orthonormalbasis, Gram-Schmidt)

Описание: Es wird eine Modellklausur zur Linearen Algebra 2 durchgerechnet. Themen:

Eigenwerte und Eigenvektoren, Diagonalisierung
Jordan'sche Normalform
Skalarprodukt und Orthogonalität
Orthonormalbasen, Gram-Schmidt-Verfahren
orthogonale und unitäre Matrizen
(Satz über die) Hauptachsentransformation

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00:00 - Intro


03:06 - Aufgabe 1, a), charakteristisches und Minimalpolynom, Angabe der JNF
07:19 - Aufgabe 1, a), Berechnung der Jordanbasis

10:57 - Aufgabe 1, b), Berechnung des charakteristischen Polynoms und der (reellen) Eigenwerte
(Ergänzung: Eine gute Möglichkeit wäre auch gewesen, den Term (6-x)²(4-x) zunächst mal so stehenzulassen und nur das Hintere auszurechnen - dort ergibt sich nämlich -144+24x, sodass man aus allem den Linearfaktor (6-x) ausklammern kann.)
18:35 - Aufgabe 1, b), Minimalpolynom, Angabe der JNF
21:55 - Aufgabe 1, b), Berechnung der Jordanbasis (Diagonalbasis)


36:41 - Aufgabe 2, Beweis zu Orthonormal- und Orthogonalbasen


43:28 - Aufgabe 3, Gram-Schmidt-Verfahren


01:04:42 - Aufgabe 4, a), Berechnung von (A^T)A

01:07:23 - Aufgabe 4, b), Beweis, dass Matrix V orthogonal
01:09:57 - Aufgabe 4, b), Berechnung von ((AV)^T)AV

01:12:30 - Aufgabe 4, c), Ermittlung einer orthogonalen 4x4-Matrix U mit (U^T)AV diagonal
01:20:29 - Aufgabe 4, c), Probe


01:28:23 - Aufgabe 5, a), Skizzierung eines Verfahrens zur "Diagonalisierung" einer rechteckigen Matrix
01:41:13 - Aufgabe 5, b), Beweis der Eindeutigkeit der Diagonalmatrix (bei absteigender Ordnung)


01:48:05 - Abspann


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