Schnittkreis von Kugel und Ebene - Vektorrechnung Gymnasium StrandMathe - Wissen

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Eine Ebene E, die eine Kugel K mit Radius r schneidet, bildet einen Schnittkreis k_s dort, wo die beiden Figuren zusammen fallen. Dieser Schnittkreis hat den Radius r_s und den Mittelpunkt M_s. Der Mittelpunkt des Schnittkreises ist der Fußpunkt des Lots vom Kugelmittelpunkt M (Ortsvektor m ⃗) auf die Ebene. Der Radius des Schnittkreises berechnet sich mit:
Dabei ist d die Länge der Strecke (MM_s ) ̅ vom Kugelmittelpunkt zum Kreismittelpunkt, die sich mittels Hesse’scher Normalenform bestimmen lässt.
Ein Sonderfall ist die Tangentialebene, die eine Kugel nicht schneidet, sondern nur in einem Punkt T (Ortsvektor t ⃗) berührt. Für sie gilt die Gleichung:
Überprüfe, ob sich die Ebene E:2x_1+2x_2+x_3=13 und die Kugel K mit dem Mittelpunkt M(2|-1|2) und einem Radius von 4 schneiden. Wenn ja, bestimme auch den Schnittkreis. Um zu bestimmen, ob die Ebene die Kugel schneidet, müssen wir den Abstand der Ebene zum Kugelmittelpunkt feststellen. Wie du bereits in Kapitel B09 gelernt hast, wendet man für die Abstandsbestimmung von Punkt zu Ebene die Hesse’sche Normalenform an. Für eine Ebenengleichung der Form a_1 x_1+a_2 x_2+a_3 x_3=b und einen Mittelpunkt M(m_1 |m_2 | m_3 ) gilt daher bekanntermaßen: Da der Abstand geringer ist als der Radius der Kugel, kann man schließen, dass die Ebene durch die Kugel verläuft und sich somit auch ein Schnittkreis ergibt. Wir haben bereits den Abstand d bestimmt und kennen auch den Radius der Kugel, daher können wir nun den Radius des Schnittkreises mit der Formel aus der Beschreibung bestimmen: Der Mittelpunkt des Schnittkreises ist der Fußpunkt des Lots vom Kugelmittelpunkt auf die Ebene.


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