Устранимый разрыв | Определение непрерывности | Определение непрерывности функции | Исчисление

Описание: В этом видео мы узнаем, что такое устранимый разрыв и как его устранить, сделав функцию непрерывной.

В математике непрерывная функция — это функция, непрерывное изменение аргумента которой (то есть изменение без скачка) приводит к непрерывному изменению значения функции. Это означает отсутствие резких изменений значения, известных как разрывы. Точнее, функция непрерывна, если сколь угодно малые изменения её значения могут быть обеспечены ограничением достаточно малыми изменениями аргумента. Разрывная функция — это функция, которая не является непрерывной. Вплоть до XIX века математики в основном полагались на интуитивные представления о непрерывности и рассматривали только непрерывные функции. Для формализации определения непрерывности было введено определение предела через эпсилон-дельта.

Непрерывность — одно из основных понятий математического анализа, где аргументы и значения функций являются действительными и комплексными числами. Это понятие было обобщено на функции между метрическими и топологическими пространствами. Последние являются наиболее общими непрерывными функциями, и их определение лежит в основе топологии.

Более сильная форма непрерывности — равномерная непрерывность. В теории порядков, особенно в теории областей, родственное понятие непрерывности — непрерывность по Скотту.

Например, функция H(t), обозначающая высоту растущего цветка в момент времени t, считается непрерывной. Напротив, функция M(t), обозначающая сумму денег на банковском счете в момент времени t, считается разрывной, поскольку она «скачет» в каждый момент времени при внесении или снятии денег.

Вещественная функция, то есть функция от действительных чисел к действительным числам, может быть представлена ​​графиком в декартовой системе координат; такая функция непрерывна, если, грубо говоря, график представляет собой одну непрерывную кривую, область определения которой — вся вещественная прямая. Более математически строгое определение дано ниже.

Непрерывность действительных функций обычно определяется через пределы. Функция f от переменной x непрерывна в действительном числе a, если предел функции f(x) при стремлении x к c равен f(a).

Существует несколько различных определений (глобальной) непрерывности функции, зависящих от области её определения.

Функция непрерывна на открытом интервале, если этот интервал содержится в области определения функции, и функция непрерывна в каждой точке этого интервала. Функцию, непрерывную на интервале (-бесконечность, + бесконечность) или (вся вещественная ось), часто называют просто непрерывной функцией; говорят также, что такая функция непрерывна всюду. Например, все полиномиальные и показательные функции непрерывны всюду.