Class 12 समाकलन प्रश्नावली 7.1 Q.no. 16 to 22 Maths by Ranveer Singh सरलतम रुप में maths सिखें

Описание: Class 12 समाकलन प्रश्नावली 7.1 Q.no. 16 to 22 Maths by Ranveer Singh सरलतम रुप में maths सिखें
प्रतिस्थापन विधि द्वारा समाकलन पर विस्तृत विवरण:

प्रतिस्थापन विधि द्वारा समाकलन (Integration by Substitution Method) समाकलन की एक अत्यंत महत्वपूर्ण और उपयोगी तकनीक है। यह विधि तब प्रयोग में लाई जाती है जब किसी समाकल को सीधे हल करना कठिन या जटिल हो। इस विधि का मुख्य उद्देश्य समाकल को एक सरल रूप में बदलना होता है ताकि उसका हल आसानी से निकाला जा सके।

इस विधि में हम किसी एक चर को दूसरे चर से बदलते हैं, अर्थात् प्रतिस्थापन (Substitution) करते हैं। उदाहरण के लिए, यदि हमें ऐसा समाकल हल करना है जिसमें कोई फलन और उसका अवकलज (derivative) दोनों उपस्थित हों, तो उस फलन को एक नए चर से प्रतिस्थापित कर दिया जाता है।

प्रतिस्थापन विधि की प्रक्रिया:

उपयुक्त प्रतिस्थापन का चयन करें:
पहले उस भाग की पहचान करें जो समाकल को सरल बनाएगा, और उसे मान लें।

अवकलज निकालें:
लिखें ताकि को के रूप में बदला जा सके।

समाकल को के रूप में बदलें:
मूल समाकल में से संबंधित सभी पदों को और से प्रतिस्थापित करें।

समाकलन करें:
अब समाकल के रूप में सरल हो जाता है, जिसे आसानी से हल किया जा सकता है।

मूल चर में वापस जाएं:
अंत में, के स्थान पर फिर से रखकर उत्तर को के रूप में लिखें।

उदाहरण:

\int 2x \cos(x^2)\,dx

अतः समाकल बन जाएगा –

\int \cos u\,du = \sin u + C \sin(x^2) + C

महत्व:

प्रतिस्थापन विधि का प्रयोग विज्ञान, इंजीनियरिंग और गणित के विभिन्न क्षेत्रों में किया जाता है। यह विधि जटिल फलनों के समाकलन को सरल बनाती है और विद्यार्थियों को समाकलन की प्रक्रिया को गहराई से समझने में सहायता करती है।

संक्षेप में कहा जाए तो —

प्रतिस्थापन विधि द्वारा समाकलन वह विधि है जो कठिन समाकलों को सरल रूप में बदलकर हल करने की एक सशक्त तकनीक है।
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