Lineare Ungleichungen lösen | Lineare Ungleichungen zeichnen | Grafische Darstellung Ungleichungen

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Eine Ungleichung ist ein Gegenstand der Mathematik, mit dem Größenvergleiche formuliert und untersucht werden können. Jede Ungleichung besteht aus zwei Termen, die durch eines der Vergleichszeichen Kleinerzeichen, Kleinergleichzeichen, Größergleichzeichen oder Größerzeichen verbunden sind.

Die in den beiden Termen auftretenden Werte sind meist reelle Zahlen. Die durch das Vergleichszeichen angesprochene Ordnungsrelation bezieht sich dann auf die natürliche Anordnung der reellen Zahlen.

Ähnlich wie bei Gleichungen ist es auch bei Ungleichungen möglich, diese in äquivalente Ungleichungen umzuformen. Äquivalente Ungleichungen haben die gleichen Lösungsmengen, daher ist das Umformen von Ungleichungen wichtig zum Lösen von Ungleichungen, worauf der hierauf folgende Abschnitt eingehen wird.

Im Folgenden werden wichtige Regeln zu äquivalenten Ungleichungen für die Vergleichszeichen und für Terme im Körper der reellen Zahlen dargestellt. Diese Äquivalenzumformungsregeln gelten analog auch für die Vergleichszeichen ≤, ≥ und ≠. Zudem werden weitere Regeln zu nicht äquivalenten Umformungen von Ungleichungen angeboten, die man oft in der Analysis – etwa bei Konvergenzbeweisen mittels Epsilontik – benötigt.

Ungleichungen können umgekehrt werden:
TL ≤ TR ⇔ TR ≥ TL

Bei Punktrechnung mit einer reellen Zahl größer 0 bleiben die Vergleichszeichen erhalten, während sie sich bei Punktrechnung mit einer reellen Zahl kleiner 0 umkehren.

Auch wenn eine einzige Ungleichung gegeben ist, kann eine Fallunterscheidung dazu führen, dass mehrere Ungleichungen betrachtet werden müssen. All das macht die Sache etwas komplizierter als das Gleichungslösen.
Ungleichungen der Form ax + b ≤ 0 ( a ≠ 0 ) oder solche, die durch äquivalentes Umformen in diese Form überführt werden können, heißen lineare Ungleichungen mit einer Variablen.

Bei der Angabe der Lösungsmenge musst du beachten, in welcher Grundmenge die Ungleichung zu lösen ist. Die Ungleichung 9 + 4x ≥ 2x + 5 soll in der Menge der natürlichen Zahlen ℕ gelöst werden. Bei einer Ungleichung, die in der Menge der rationalen Zahlen ℚ gelöst werden soll, erhältst du als Lösung x ≥ 3.

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