Kombinatorik (Mathe-Song)

Описание: Spotify: http://spoti.fi/2p8rfdS

Die wichtigsten Fälle der Kombinatorik in einem Rap-Song.

T-Shirts: http://www.DorFuchs.de/t-shirts/
Instagram:   / dor.fuchs  
Twitter:   / dorfuchs  
Website: http://www.DorFuchs.de/

Mathe-Song Playlist: http://bit.ly/MatheSongs
Spotify: http://bit.ly/DorFuchsSpotify


Text:

Hier geht es jetzt um Kombinatorik, oder genauer gesagt
darum, wie viele Möglichkeiten man insgesamt hat,
wenn man k-mal aus n Elementen wählt,
doch bevor man sich gleich mit der Allgemeinheit quält,
machen wir das mal zumindest halbwegs alltagsrelevant
am Beispiel Fahrradzahlenschloss - wahrscheinlich jedem bekannt.
Hier kann man 5 Stellen verdrehen und wir fragen uns nun:
Wie viele Möglichkeiten gibt es, dies zu tun?

Nun: Wie viele Möglichkeiten gibt es für die erste Stelle? Zehn.
Und für die zweite Stelle? Zehn. Und für die dritte Stelle? Zehn.
Und für die vierte? … Zehn. Und für die fünfte ebenfalls Zehn.
Das macht insgesamt 10 mal 10 mal 10 mal 10 mal 10,
also 10 hoch 5, gleich Hunderttausend und man kann sehn:
Kann man an k Stellen allgemein aus n Optionen wählen,
wird man n hoch k Möglichkeiten dafür zählen.
Soweit alles verstanden? … OK.

Nächstes Beispiel: 8 Läufer beim 100-m-Sprint.
Die Frage ist jetzt nicht nur, wer von denen gewinnt,
sondern wir schauen uns jetzt die komplette Reihenfolge an
und wollen wissen, auf wie viele Art und Weisen es sein kann,
dass die im Ziel ankommen und dadurch ne Reihenfolge entsteht.
… Das nennt man Permutation und das geht
ebenfalls nach dem Prinzip, dass man sich nacheinander fragt,
wie viele Möglichkeiten man an jeder Stelle jeweils hat:

Als erster Platz kommt einer der 8 Läufer an,
doch weil der ja nicht gleichzeitig Zweiter werden kann,
gibt es erstmal nur noch 7 Optionen, wobei
es danach 6 gibt, dann 5, 4, 3 und dann 2
und für den letzten Platz bleibt dann nur noch eine Option,
macht also 8 Fakultät und bei einer Permutation
von genau n Elementen wird das n Fakultät.
Doch was ist eigentlich, wenn es uns nur darum geht,

wie viele Möglichkeiten man für die Medaillen Plätze hat?
Das geht eigentlich genauso, wie bisher, doch anstatt
das bis zum letzten Platz zu machen, geht man nur bis Platz 3,
also 8 mal 7 mal 6 ist hier die Antwort, wobei
das allgemein auch geht, wenn ich k-mal aus n Kugeln ziehe.
Für die erste Kugel gibt’s dann erstmal n viele
Möglichkeiten und für jede weitere Kugel eine weniger
und das Ganze k-mal und jetzt steht hier ja

im Wesentlichen so etwas wie n Fakultät,
nur dass nach den ersten k Faktoren dann der Rest fehlt,
doch dividiert man nun mit n minus k Fakultät,
ist der Rest, der hier steht, genau das, worum’s geht.
Okay. Unser letztes Beispiel soll jetzt Lotto sein:
Da kreuzt man hier 6 Zahlen an auf dem Lottoschein
und die Frage, die man sicherlich schon kommen sieht,
ist wie viele Kombinationen es hier gibt.

Beim ersten Kreuz kann ich aus 49 Zahlen wählen
und nachdem ich das gemacht hab, nur noch aus 48 wählen
und dann 47, 46, 45, 44.
Sieht bisher aus, wie beim 100m-Lauf, doch wird sich
dadurch unterscheiden, dass es nicht darum geht,
in welcher Reihenfolge wann welches Kreuz entsteht
und für jeweils 6 Zahlen gibt’s ja immer 6 Fakultät
Permutationen, bei denen der gleiche Lottoschein entsteht.

doch da es uns ja hier nur um verschiedene Lottoscheine geht,
dividieren wir das Ganze jetzt mit 6 Fakultät
und kommen dadurch insgesamt auf Dreizehn Millionen
Neunhundert Dreiundachtzig Tausend Achthundert Sechzehn Kombinationen.
Also, dass man mal 6 Richtige trifft,
ist zwar möglich, aber wahrscheinlich ist das nicht.
Jetzt wird noch allgemein die Formel bestimmt,
wenn man aus n Elementen genau k heraus nimmt

und wir wissen schon: Wenn es da um die Reihenfolge geht,
ist das n Fakultät durch n minus k Fakultät,
doch ist die Reihenfolge egal, kann man für jede Möglichkeiten mit ihren
k Fakultät Permutationen dividieren.
Und diese Formel braucht man immer wieder und man nennt
das hier auch n über k - den Binomialkoeffizient.
Und ich würd sagen, wenn man bis hier alles versteht,
sind für die Kombinatorik jetzt gute Grundlagen gelegt.



Dieses Video wurde für die private, nicht-kommerzielle Nutzung produziert und veröffentlicht und ist in diesem Rahmen ohne Rücksprache oder schriftlicher Genehmigung für private Zwecke kostenfrei zu verwenden. Bitte beachten Sie jedoch, dass das Video weder inhaltlich noch grafisch verändert werden darf. Geben Sie bei einer Verwendung bitte stets den YouTube-Kanal DorFuchs als Quelle an. Für die kommerzielle Nutzung sowie die Nutzung zu zustimmungspflichtigen Nutzungshandlungen zu Bildungszwecken, wie öffentliche Filmvorführungen, öffentliche Zugänglichmachungen über Bildungsserver, Lernplattformen oder Bildungsclouds, usw. ist eine Lizenzierung erforderlich. Lizenzen erhalten Sie bei unserem Vertriebspartner http://www.filmsortiment.de. Dieses Video ist für schulische Unterrichtszwecke geeignet und bestimmt und daher ein geschütztes Werk gemäß §60a und §60b UrhG.