Найти объём, заключённый между сферой и конусом | Тройное интегрирование в цилиндрических координ...

Описание: В этом видео вы научитесь мощному методу математического анализа для нахождения объёма трёхмерного тела, и в следующий раз, когда будете есть мороженое, вы увидите его структуру по-другому.

Я разберу полный пошаговый пример, используя тройное интегрирование и цилиндрические координаты, чтобы найти объём, заключённый между параболоидом и конусом. Получившаяся структура напоминает рожок мороженого.

Задача: Нам нужно найти объём, заключённый между сферой и конусом. Сфера определяется декартовым уравнением z² = 8 - (x² + y²), а конус — декартовым уравнением z = √(x² + y²).

Пошаговое объяснение:

Визуализация: Я начинаю с использования инструмента трёхмерного графического построения, чтобы наглядно показать пересечение сферы с конусом, что даёт вам лучшее представление об области, по которой производится интегрирование.

Преобразование координат: я показываю, как преобразовать уравнение параболоида и конуса из декартовых координат в цилиндрические, подставив x = rcosΘ и y = rsinΘ, отметив, что (z) остаётся неизменным (z = z).

Определение области и пределов: Это ключевой шаг! Я подробно объясняю, как определить область пересечения сферы и конуса, чтобы определить пределы интегрирования по z, r, Θ.

Элемент объёма (dV): я объясняю концепцию бесконечно малого элемента объёма dV в цилиндрических координатах и ​​графически показываю, почему dV = dzrdrdΘ (и почему необходим дополнительный множитель (r)).

Вычисление: Наконец, я объединяю всё это, чтобы вычислить тройной интеграл и найти точный объём области пересечения, заключённой между сферой и конусом.

Наслаждайтесь мороженым!