AT 2026 week 4-2

Описание: 平均虛溫與壓高公式的物理意義

壓高公式在積分的時候，會遇到一個小麻煩：
虛溫 T_v 可能會隨高度變，所以它不能直接提出來。

因此，我們會定義一個平均虛溫 \overline{T_v}。它的意思就是，在 p_1 到 p_2 這一層之間，把整段溫度做平均，變成一個常數。這樣一來，積分就做得下去。

最後得到的壓高公式，本質上是在告訴你：

某兩個等壓面之間的厚度，跟這一層的平均溫度有關。

這句話超級重要。

因為你平常在天氣圖上看到的高空圖，往往不是壓力圖，而是等壓面高度圖。例如地面會畫地面氣壓圖，但高空常畫的是 850 hPa 高度場、500 hPa 高度場。為什麼？這有歷史原因。早期探空器實際上比較容易量到的是壓力，不一定直接知道精確高度，所以高空天氣圖就習慣畫在等壓面上。

那麼，當你看到一張 850 hPa 高度圖時，你看到那些數字，比如某地 1500 m、某地 1200 m，那些不是壓力大小，而是：

在同樣是 850 hPa 這個壓力面上，不同地方的高度不同。

而這個高度差異，本質上反映的是下面那一層空氣的平均溫度差異。

因為溫度高，空氣柱膨脹，厚度就比較大，所以同一個 850 hPa 面就會出現在比較高的位置；溫度低，空氣柱比較薄，850 hPa 面就比較低。

所以你看到高空圖上面有個「高壓」常常其實不是高壓，它是在等壓面上的高高度區。更直白地說，那裡不是「壓比較高」，而是「那一層空氣比較厚、比較暖，所以這個等壓面被撐得比較高」。

Geopotential：把高度換成位能來看

這裡再往前一步，我們會引入一個很常用的物理量，叫做 geopotential。

如果你看到 gz，第一個直覺就應該知道：這是位能。
所以所謂的 geopotential height，本質上就是把高度乘上重力加速度後，再除回來，以位能的角度去描述高度。

這樣做的好處是什麼？
它讓你不必一直從「壓力」這個很抽象、而且常常方向反直覺的量去思考，而是轉成比較好懂的能量觀點。

你可以想成：
• 熱的空氣膨脹，空氣柱變厚；
• 空氣柱變厚，在同一個等壓面上就有比較高的 geopotential height；
• geopotential 比較高的地方，代表位能比較高；
• 位能差異會驅動流動。

這其實比一開始從分子碰撞、壓力是什麼那種角度來想，對大氣科學來說更直觀。因為當問題被拉到大氣尺度時，我們慢慢不再用分子動力學的語言來理解，而是改用更巨觀、能量化的語言。

所以你現在打開氣象局的高空天氣圖，看到的那些「高」與「低」，其實是在等壓面上的高度起伏。那個起伏反映的是空氣柱厚度，而厚度反映的是平均溫度，進一步也可以看成位能差異。

這樣轉回來看，就會發現沒有想像中那麼複雜。
在同一個等壓面上，
比較厚、比較暖的空氣，位能比較高；
比較薄、比較冷的空氣，位能比較低。
而位能差異就會影響流動的變化。

小結

所以今天這一整段，其實是在建立幾個很核心的觀念。

第一，氣塊和環境要分清楚。
氣塊是系統，我們可以給它一個過程；環境則通常需要量測或假設出完整結構。

第二，位溫是一種標準化比較溫度的方法。
它把不同高度上的空氣拉到同一基準，讓你真正比較誰比較暖、誰比較有上升傾向。

第三，靜力平衡在大氣中非常重要。
因為重力的影響大得驚人，大部分大尺度現象都很難脫離它。

第四，壓高公式把壓力座標和高度座標連起來。
它告訴你等壓面之間的厚度，跟平均虛溫有關。

第五，高空天氣圖上看到的「高」不是真的高壓，而是高的 geopotential height。
它背後反映的是較暖、較厚的空氣柱，也可以從位能的角度來理解。

所以最後你再回去看天氣圖，就不會只看到一堆線和數字，而會開始知道：
這些線其實是在描述大氣的溫度結構、空氣柱厚度、位能差異，以及它們如何驅動大尺度流動。

那我前面鋪陳這麼多，到底要幹嘛？

我的目標其實是要把你們帶到一個視角：**用位溫，或者更廣一點，用 static energy 來描述大氣問題。**剛剛經過那麼多步驟，其實都是在幫我們建立這個視角。

我們回到熱力學第一定律。從那裡出發，我們之前推導了位溫 θ。過程裡面，我們做了代換，使用了 equation of state，也假設了絕熱過程，最後得到了 θ。這是我們對空氣塊的一種描述方式：把空氣塊在絕熱過程中帶到某個參考壓力，例如 1000 hPa，然後看它會有什麼溫度，這就是位溫。

但同樣地，我們也可以把這個方程做另外一種轉換。這裡如果你回去看推導，會看到一些微積分操作。再加上我們現在引入靜力平衡的假設，因為
\alpha = \frac{1}{\rho}
而靜力平衡告訴我們
-\alpha \, dp = g\,dz
所以透過這個代換，你就可以把原本壓力的變化，換成高度、也就是位能的變化。

一旦這樣做，在絕熱過程下，你就會得到一個新的保守量，叫做 Dry Static Energy，寫成：

s_d = c_p T + gz

這個東西為什麼重要？

因為前面我們鋪陳了這麼久：鋪陳了靜力平衡、鋪陳了壓高公式、鋪陳了壓力可以轉成厚度、厚度可以連到溫度，最後我們把這一切都濃縮到這個式子裡。也就是說，在絕熱過程中，一個空氣塊內部有一個保守的量，可以寫成兩種能量的總和。

第一項 c_pT，你可以把它想成跟內含（enthalpy）有關的能量。第二項 gz，就是重力位能。所以 dry static energy 其實就是在描述：空氣塊的內含加上它的重力位能。

這個好處非常大。

因為我們之前在位溫 θ 的世界裡，是把空氣塊「絕熱地拉到 1000 hPa」，看它最後有多熱。那當然是個很好的定義，也很有物理意義。可是你如果從 static energy 的角度去想，你會發現某種程度上，那個「拉到參考面」的動作，本身其實就是在處理位能與內含之間的轉換。

換句話說，我今天有一個空氣塊在高空，我把它往地面帶。因為是絕熱過程，沒有額外熱量進出，總能量要守恆。所以它的位能減少，那減少掉的那一部分就會轉成內含增加，所以溫度會升高。反過來，如果我今天有一個地表附近的空氣塊往上升，它的位能要增加，可是又沒有額外能量進來，那它只能把自己的內含拿去換位能，所以溫度就下降。

這就是為什麼空氣塊上升會冷卻、下沉會增溫。前面教那麼多，到這邊其實都變得很直覺。因為你現在不是只在背一個 lapse rate，而是在看：內含跟位能之間如何交換。

所以 dry static energy 的好處之一，就是它讓這件事變得非常好想。它把原本溫度、壓力、厚度那些有點繞的東西，轉成一個更接近能量守恆的語言。

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這也是為什麼我常常說，你們慢慢踏進大氣科學之後，就會開始跟化學系的人愈來愈難聊天。因為你跟他說我們都在看 static energy，他可能會問你：「什麼 energy？Gibbs free energy 嗎？」不是，我們講的不是那個。我們講的是大氣裡因為空氣塊有垂直運動，所以必須同時考慮內含跟重力位能的總和。這種能量在很多其他領域裡面，不見得是主要角色；但在大氣科學裡面，因為我們非常在意從地表到 500 hPa、到對流層上部這種垂直結構，所以這個量非常自然、也非常有用。

而且，這個量還會直接帶你推到你們很熟悉的東西。因為如果
s_d = c_pT + gz
在絕熱過程中守恆，那它對高度微分之後，在 c_p 與 g 都視為常數的情況下，就會得到

c_p \frac{dT}{dz} + g = 0

也就是

\frac{dT}{dz} = -\frac{g}{c_p}

這就是大家最熟悉的乾絕熱遞減率。數值大約就是每公里 10 K，也就是你們從國中、高中自然課一路背過來的那句話：空氣塊上升一公里，溫度大概下降 10 度。

只是到了大學，你不能只背這個數字，你要知道它怎麼來的。它其實就是從靜力平衡、熱力學第一定律、還有內含與位能轉換這整套邏輯推導出來的。

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接下來，我們還可以再做一點單位上的整理。

Dry static energy 的單位是能量，焦耳每公斤。但大氣科學家真的很喜歡用溫度來想事情，所以我們常常會把它除上 c_p，定義成一個所謂的 Dry Static Energy Temperature：

\frac{s_d}{c_p} = T + \frac{gz}{c_p}

這個東西單位就變成 K。你就會發現，大氣科學裡面真的很多東西最後都會長成 300 K 左右：氣溫 300 K、potential temperature 300 K、RCE 平衡溫度 300 K、現在連 dry static energy temperature 也可能是 300 K。它們都長得很像，但代表的意思不完全一樣。

這樣做好處是什麼？好處是它跟位溫 θ 看起來就更接近了。雖然它們在嚴格定義上不是完全一樣，因為背後的假設不同：位溫的推導沒有直接把靜力平衡塞進去，而 dry static energy 則有。所以當你在看一些非靜力的過程，例如重力波、深對流、颱風裡面很強的下沉增溫時，θ 跟 dry static energy 的描述就可能出現差異。

例如我今天如果要研究颱風中的下沉氣流增溫，這時候你真的去算 θ，跟你去算 dry static energy，可能就會差很多。為什麼？因為 θ 沒有假設靜力平衡，可是 dry static energy 的推導有。於是那些非靜力的快速過程，就會反映成這兩個物理量之間的差異。

所以我要很誠實地說：**它們不是等號，不會完全一樣。**如果你很認真地推，你一定會看到差異。可是它們有很多很相近的性質。像是絕熱過程中 θ 保守，絕熱過程中 dry static energy 也保守。加熱的時候它們都會改變，而且改變的型態有很多相似之處。也正因為如此，在很多大氣科學的應用裡，我們常常會在某種程度上混用它們。

你真的畫圖看看，也會發現它們在低層比較像，在高層差得多一點。這不是巧合，而是因為背後近似與假設的影響在不同高度上表現不同。

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那我一直推廣 static energy 到底是為什麼？

因為本系很多課，尤其如果你從 RCE、從氣候能量平衡、從大尺度環流的角度進大氣科學，你最後會發現：**用能量來描述大氣，其實非常自然。**而 static energy 剛好就是一個非常好用的能量語言。它可以長出來、可以守恆、可以交換，也可以幫助你把大氣中的加熱、輻射、相變、對流等等不同過程串在一起。

我以前會說天氣學老師喜歡 θ，現在其實也不完全是了。現在很多天氣學老師、氣候學老師，也都愈來愈喜歡 static energy。可以說本系某種程度上快要被 static energy 統一了。不過大部分文獻裡面還是很多 θ，所以我才一直努力想讓大家接受一個觀點：它們大概在講很接近的事情。

這個「大概」很重要，因為不是說它們真的完全一樣。你如果要很講究細節，那它們確實不同。但如果你是在利用它們的性質來描述大氣問題，那很多時候它們的表現其實非常相近，而且都比直接用溫度更好。

為什麼？因為單純的溫度最大的問題就是：**它隨高度變化太大了。**空氣塊一上升，溫度立刻劇烈變化；一下沉，溫度也立刻劇烈變化。可是其中很大一部分，其實只是絕熱轉換造成的。既然這件事情我們已經知道，而且又可以被乾絕熱遞減率、或者 static energy 守恆這些概念很好地描述，那我們在很多問題裡，其實就不需要把這部分的變化當成真正有趣的主角。

然後你再回頭去看那句最經典的話：「熱空氣上升，冷空氣下降。」其實你也可以換個說法：**高能量的空氣在高的地方，低能量的空氣在低的地方，本來就是比較合理的配置。**高 static energy 在高的地方，低 static energy 在低的地方，這整個系統就維持在一個它應該有的狀態。