Konstruktion eines regelmäßigen Fünfecks (Mathe-Song)

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Songtext:

Wie kann man ein regelmäßiges Fünfeck konstruieren?
Ich zeig’ dir, wie’s geht. Du kannst es selbst gern mal probieren!
Denn das Ganze nachzumachen ist nicht schwierig, zumal
wir nur zwei Hilfsmittel brauchen und zwar Zirkel und Lineal.

Gegeben ist die Strecke AB.
Zeichne nun den Kreis von A durch B und B durch A, Okay.
Und wenn du die Schnittpunkte der beiden Kreise verbindest
und so den Mittelpunkt M der Strecke AB findest,
kannst du die Gerade AB Richtung B weiter zeichnen
und den Schnittpunkt mit dem Kreis hier als P bezeichnen.
Durch den Kreis von P durch A und A durch P wird klar,
wie man von B aus senkrecht hochgehen kann und das ist wunderbar.
Der Schnittpunkt dieser Strecke mit dem Kreis von B durch A
sei nun Q, und im Nu zeichnest du einfach ma’
den Kreis von M durch Q und mit der Gerade AB
hast du die Schnittpunkte rechts R und link L. Okay.
Wir sind gleich fertig. Das Fünfeck ergibt sich jetzt schnell
durch den Kreis von A durch R und Kreis von B durch L.
Der Schnittpunkt beider Kreise hier oben ist der Punkt D
und mit den Kreisen ganz vom Anfang findest du auch C und E.

So kann man ein regelmäßiges Fünfeck konstruieren.
Ich zeig’ dir, wie’s geht. Du kannst es selbst gern mal probieren!
Denn das Ganze nachzumachen ist nicht schwierig, zumal
wir nur zwei Hilfsmittel brauchen und zwar Zirkel und Lineal.

Aber warum funktioniert das hier exakt?
Nun, das liegt an dem wunderbaren Fakt,
dass sich in Diagonalen im regelmäßigen Fünfeck
mit Seitenlänge 1 immer der goldene Schnitt versteckt.
Jetzt kann man die Strecke AB als Länge 1 festlegen
und sich auf Suche nach der Länge gold’ner Schnitt begeben,
also Wurzel 5 durch 2 plus ein Halb und naja
bei dem Dreieck BQM ist dir hoffentlich klar:
Das ist rechtwinklig, mit Katheten 1 und 1/2
und mit dem Satz des Pythagoras sieht man schon bald:
MQ hat die Länge Wurzel 5 durch 2,
also auch MR und ist AM noch dabei,
sieht man: AR hat exakt die Länge goldener Schnitt,
somit auch AC und AD und analog geht das auch mit
den Strecken BE und BD, wodurch ich also entdeck’:
Die Punkte C, D und E sind genau am rechten Fleck.

So kann man ein regelmäßiges Fünfeck konstruieren.
Ich zeig’ dir, wie’s geht. Du kannst es selbst gern mal probieren!
Denn das Ganze nachzumachen ist nicht schwierig, zumal
wir nur zwei Hilfsmittel brauchen und zwar Zirkel und Lineal.





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