Хитрость Евклида: почему всегда есть ещё одно простое число

Описание: Евклид доказал это более 2000 лет назад: сколько бы простых чисел вы ни перечислили, всегда найдётся ещё одно. Вот простой приём, показывающий, почему простые числа никогда не кончаются.

Представьте на мгновение, что вы это сделали. Вы составили список. Полный список. Все простые числа выписаны одно за другим. Возможно, это просто 2 и 3. Или, может быть, вы дошли до 29, 31 или 97. Неважно — главное, что ваш список полон. Простых чисел больше нет.

Итак, теперь мы разобьём ваш список.

Простые числа — это всё о множителях и кратных. По определению, простое число — это любое целое число больше 1, имеющее ровно два множителя: 1 и себя самого. А составные числа — числа, не являющиеся простыми — получаются путём умножения простых чисел друг на друга. В этом и заключается ключевая идея. Простые числа — это строительные блоки, атомы арифметики.

Загляните на основной канал! @polymathematic

Итак, давайте возьмём ваш идеальный, законченный список простых чисел. Допустим, это всего лишь 2 и 3. Умножаем их: 2 × 3 = 6. Теперь немного сложнее: прибавим 1.

6 + 1 = 7.

Теперь спросите себя: делится ли число 7 на 2 или на 3? Нет. Это означает, что либо (а) 7 — простое число, либо (б) у него есть какой-то простой множитель, которого нет в нашем списке. В любом случае, ваш список «всех простых чисел» просто сломался. Он неполный.

Возможно, 7 само по себе является следующим простым числом, и в этом случае вы пропустили одно из них. Или, может быть, оно не простое, но делится на какое-то простое число, которое вы не включили. В любом случае, ваш список не был полным.

Давайте попробуем другой вариант. Допустим, ваш список состоит из 3 и 5. Умножаем: 3 × 5 = 15. Складываем 1: 15 + 1 = 16. Хорошо, 16 не простое число, но оно делится на 2. А 2 не было в вашем списке. И снова ваш список не работает.

И это не просто одноразовый трюк. Вы можете проделать это с любым конечным списком простых чисел. Перемножьте их, добавьте 1, и полученное число будет либо простым (и не будет в вашем списке), либо составным, но делящимся на какое-то другое простое число, которое не было в списке.

Этот хитрый ход — перемножить все известные простые числа и добавить 1 — позволил Евклиду более двух тысяч лет назад доказать, что простых чисел должно быть бесконечно много.

Потому что, сколько бы вы ни перечислили, вы не перечислили их все. Всегда найдется еще одно. Всегда найдется еще одно простое число, которое ускользнет от внимания.

Что означает: простые числа никогда не кончаются.

#MathExplained #PrimeNumbers #InfinityInMath

Смотрите другие видео по математике:
Math Minis:    • Math Mini  
Math Minutes:    • Math Minutes  
Number Sense:    • Number Sense (UIL / PSIA)  
MATHCOUNTS:    • MATHCOUNTS  

Подпишитесь на Тима Риччуити:
TikTok:   / polymathematic  
Mathstodon: https://mathstodon.xyz/@polymathematic
Instagram:   / polymathematicnet  
Reddit:   / polymath-matic  
Facebook:   / polymathematic