📐 Lección 11: Integración numérica — Newton–Cotes (Trapecio, Simpson 1/3 y 3/8)

Описание: 📐 Lección 11 | Integración numérica — Newton–Cotes (Trapecio, Simpson 1/3 y 3/8)
Cuando no hay primitiva exacta o sólo tienes datos tabulados, la integración numérica es el camino. En esta lección construimos reglas Newton–Cotes cerradas y las aplicamos en forma compuesta para controlar el error con paso uniforme.

¿Qué verás en esta lección?
• 🔎 Idea central: aproximar la función por polinomios locales y sumar áreas sobre subintervalos.
• 🧱 Reglas cerradas:
 – Trapecio (base lineal): simple y robusta para una primera estimación.
 – Simpson 1/3 (cuadrática): suele ser el mejor costo/precisión en muchos casos.
 – Simpson 3/8 (cúbica): útil para completar tres subintervalos restantes o funciones más curvas.
• 🧩 Versión compuesta: particionar [a,b] en n subintervalos y aplicar la regla en cada uno. Requisitos:
 – Simpson 1/3: n par.
 – Simpson 3/8: n múltiplo de 3 (o usarla para los últimos 3 subintervalos si n es impar).
• 📏 Orden de error (intuición): Trapecio ~ O(h²), Simpson ~ O(h⁴). Cómo elegir h y estimar el error repitiendo con la mitad del paso (doble malla).
• 📊 Funciones vs. datos: cómo integrar cuando sólo tienes pares (x, f); detección de discontinuidades y picos locales.
• ⚖️ Estrategia práctica: empezar con trapecio para una cota, pasar a Simpson 1/3 para precisión, combinar 3/8 si la paridad de n no ayuda.

Por qué importa
Estas reglas son la base de cálculo de áreas, trabajos y energías, integrales de respuesta temporal, post-proceso de señales experimentales y validación de modelos cuando sólo cuentas con datos discretos.

Buenas prácticas
✅ Verifica unidades y escala la variable si los rangos son muy distintos.
✅ Repite el cálculo con h/2 para estimar el error; detente cuando la mejora sea menor que tu tolerancia.
✅ Evita mezclar puntos de datos mal espaciados; si hay huecos, interpola con cautela (grado bajo).
✅ Ojo con discontinuidades: integra por tramos y documenta el manejo.
✅ Reporta siempre: n, h, regla usada y estimación de error.

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