Polynômes de Bernstein et théorème de Stone-Weierstrass: Les polynômes forment une partie dense
Автор: F Maalouf
Загружено: 2021-11-04
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Cette vidéo fait partie d'une série sur les colles, exercices type et grand classiques des concours des grandes écoles. Lien pour la playlist: • Déterminants (10/14): déterminant de Hürwitz
Le théorème de Stone-Weierstrass dit que l’ensemble des fonctions polynomiales est une partie dense de l’ensemble des fonctions continues du segment [0,1] et à valeurs dans R, muni de la norme de la convergence uniforme (ou “norme-infini”). On va démontrer ce résultat en construisant pour toute fonction continue f de [0,1] et a valeurs dans R, une suite de polynômes qui converge uniformément vers f. Ces polynômes seront appelés "Polynômes de Bernstein de la fonction f”.
Pour la preuve on aura besoin d’une inégalité numérique, mais qu’on démontre d’habitude dans un cours de probabilité: c’est l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour la loi binomiale.
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