Austauschprozesse und Gleichgewichtsverteilung - Stabile Verteilung & Grenzmatrix - Übung 2

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In dem Diagramm rechts kannst du erkennen, wie sich ein System mit drei verschiedenen Zuständen von einem Zeitpunkt zum nächsten verändert. Hier könnte das Gefühl von Schülerinnen und Schülern gezeigt werden. Diese könnten für gute Noten lernen (N), Party machen (P) oder schlafen (S) wollen. Angenommen heute (Tag 0) wollen von 504 Jugendlichen 182 lernen, 213 Party machen und 109 schlafen, dann könnte man die veränderten Zustände an den folgenden Tagen mit einer Prozessmatrix berechnen.

Einen Austauschprozess erkennt man mathematisch immer daran, dass dem Übergangsprozess eine quadratische Matrix zugrunde liegt, bei der die Koeffizienten alle positiv und die Spaltensummen gleich eins sind. Eine gegebene Anfangsverteilung wird durch Multiplikation mit der Prozessmatrix A beliebig häufig verändert. Wird der Austausch mehrfach durchgeführt, spricht man von Iterationsschritten.
Um beispielsweise auf die Verteilung nach dem zweiten Iterationsschritt zu kommen, kann man entweder rechnen: A·(x_0 ) ⃗=x ⃗_1 → A·x ⃗_1=(x_2 ) ⃗ , oder man potenziert die Austauschmatrix mit der Anzahl der Iterationsschritte und multipliziert diese danach mit dem Anfangsvektor: x ⃗_2=A·x ⃗_1=A·A·(x_0 ) ⃗=A^2·(x_0 ) ⃗

Bei Austauschprozessen sind zwei Dinge besonders interessant:
stabile Verteilung: Eine solche Verteilung besitzt einen Vektor x ⃗ , sodass die Gleichung A·x ⃗=x ⃗ erfüllt wird. Dies bedeutet, dass sich die Zustände nach einigen Iterationen nicht mehr verändern und das System „kontrahiert“.
Grenzmatrix: Die Matrizen A^k nähern sich für k → ∞ einer Grenzmatrix G, wenn die Spalten von G alle die gleichen Zahlen aufweisen. Die Spalten der Grenzmatrix geben dann die Verhältnisse bei der Grenzverteilung wieder.

Die Aufgabe knüpft an die Situation aus der Beschreibung an.
a) In fünf Tagen beginnt die Klausurenphase. Berechne, wie viele Schülerinnen und Schüler sich nach 5 Zeitschritten jeweils in den Zuständen N, P und S befinden.
b) Gibt es eine stabile Verteilung der Stimmungen? Gib sie an.
c) Bestimme eine Grenzmatrix des Austauschprozesses.

Fazit: Unabhängig von der Anfangsverteilung werden am Ende 60% der Schüler im Zu-stand N sein, 30% in Zustand P und 10% in Zustand S, weil bei „von…nach“ unabhängig vom Startzustand die gleichen Anteile verteilt werden.

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