Complex analysis 12 - نگاشت‌های کسری (Möbius Transform) و کاربرد در حل معادلات لاپلاس و حرارت

Описание: در این ویدیو یکی از مهم‌ترین ابزارهای آنالیز مختلط یعنی نگاشت‌های کسری یا نگاشت‌های موبیوس (Möbius Transformations) را معرفی و تحلیل می‌کنیم. این نگاشت‌ها قادرند نواحی پیچیده را به نواحی ساده‌‌تر تبدیل کنند.
این ویژگی در حل تحلیلی معادلات دیفرانسیل لاپلاس و حرارت با شرایط مرزی پیچیده کاربرد بسیار مهمی دارد.

در این درس ابتدا ساختار و ویژگی‌های هندسی نگاشت‌های کسری را توضیح می‌دهیم، سپس نحوه نگاشت خط، دایره، نیم‌صفحه و ناحیه‌های دیگر را بررسی کرده و در ادامه با چند مثال کاربردی نشان می‌دهیم چگونه می‌توان با کمک این نگاشت‌ها یک ناحیه را به ناحیه استاندارد تبدیل کرد و سپس معادله لاپلاس یا انتقال حرارت را ساده‌تر حل کرد.

مباحث اصلی ویدیو:

تعریف دقیق نگاشت‌های کسری (Mobius Transformations)

نمایش هندسی و رفتار نگاشت‌ها

نگاشت خطوط و دایره‌ها به یکدیگر

نگاشت نیم‌صفحه‌ها و دیسک‌ها

کاربرد در حل PDEهایی مثل لاپلاس و حرارت

مثال‌های حل‌شده از تبدیل نواحی و اعمال شرایط مرزی

📌 اگر از این ویدیو لذت بردید لطفاً کانال را سابسکرایب کنید، لایک بزنید و با دیگران به اشتراک بگذارید.
حمایت شما باعث ادامه تولید آموزش‌های تخصصی ریاضیات مهندسی می‌شود.

مرجع: کتاب ریاضی مهندسی دکتر کمال عقیق.
در این ویدیو از جزوات آموزشی جناب آقای دکتر رحامی استاد دانشگاه تهران نیز استفاده شده است.
In this video, we explore fractional (Möbius) transformations, one of the most powerful tools in complex analysis.
We examine the geometric properties of these mappings, analyze how they transform lines and circles, and then apply them to convert PDE domains into canonical forms where solutions become straightforward.

Topics include:

Definition of Möbius transformations

Geometric interpretation

Mapping lines ↔ circles

Mapping half-planes and disks

Applications to solving Laplace/Heat equations

Fully worked examples