Espaces vectoriels normes et topologie MP et PSI : cours , applications , exercices et problèmes

Описание: Dans cette vidéo, nous étudions les *espaces vectoriels normés (EVN)* et les notions de *topologie* associées, conformément au programme des filières *MP* et *PSI* en CPGE. L’objectif est de maîtriser le cours, les méthodes classiques et les exercices d’application.

Un espace vectoriel normé est un espace vectoriel ( E ) muni d’une norme ( |\cdot| ). Cette norme vérifie trois propriétés fondamentales : la positivité (la norme est positive et nulle uniquement pour le vecteur nul), l’homogénéité (la norme d’un multiple scalaire est proportionnelle à la valeur absolue du scalaire), et l’inégalité triangulaire (la norme d’une somme est inférieure ou égale à la somme des normes).

On étudie les normes classiques dans ( \mathbb{R}^n ) : la norme 1 (somme des valeurs absolues), la norme 2 (norme euclidienne) et la norme infinie (maximum des valeurs absolues). En dimension finie, toutes les normes sont équivalentes, ce qui est un résultat central du programme MP et PSI.

La norme permet de définir une distance ( d(x,y)=|x-y| ), ce qui introduit une structure topologique. On étudie alors les boules ouvertes et fermées, les ensembles ouverts et fermés, l’adhérence, l’intérieur, la frontière, ainsi que les notions de compacité et de connexité.

Suites dans un EVN (programme MP/PSI)

Une suite ( (x_n) ) d’éléments d’un EVN converge vers ( x ) si
[
|x_n - x| \to 0.
]

Les notions importantes au programme sont :

convergence et unicité de la limite
suites de Cauchy
caractérisation de la convergence dans ( \mathbb{R}^n )
comparaison avec la convergence composante par composante
théorème de Bolzano-Weierstrass en dimension finie
complétude

Un EVN complet est appelé espace de Banach. En dimension finie, tout EVN est complet.

Fonctions dans un EVN (programme MP/PSI)

On étudie les fonctions définies sur un EVN et à valeurs dans un EVN.

Les notions essentielles sont :

continuité (définie via la norme)
caractérisation séquentielle de la continuité
applications linéaires continues
équivalence entre continuité et bornitude pour une application linéaire
norme d’une application linéaire
théorème des bornes atteintes sur un compact
inégalités de type Lipschitz

Dans le cadre des espaces de fonctions, on rencontre également la norme uniforme et les espaces de fonctions continues.

Ainsi, dans le programme MP et PSI, l’étude des EVN relie l’algèbre linéaire, la topologie et l’analyse. Les exercices classiques portent sur la comparaison de normes, l’étude de la convergence des suites, la continuité des applications linéaires et la détermination du caractère complet d’un espace.

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